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京都大学 2002年文系第5問解説

方針・初手

$1, a, b, c$ から相異なる2個を取り出してできる和の組み合わせは ${}_4\mathrm{C}_{2} = 6$ 通りあります。これら6個の和の大小関係を調べ、小さい順に並べたときに「連続する整数になる（隣り合う和の差が $1$ になる）」という条件を立式するのが基本方針です。このとき、和の種類が最大で $6$ 個しかないことから、「得られる連続する整数の個数（最大値と最小値の差 $+ 1$）」も高々 $6$ 個に絞られることに着目して場合分けを行います。

解法1

4個の整数 $1, a, b, c \ (1 < a < b < c)$ から相異なる2個を取り出してできる和は、以下の6つである。

$$ 1+a, \quad 1+b, \quad 1+c, \quad a+b, \quad a+c, \quad b+c $$

これらの大小関係を調べると、$1 < a < b < c$ より

$1+a < 1+b < 1+c$、$1+b < a+b < a+c$、$1+c < a+c < b+c$

が成り立つ。したがって、最小値は $1+a$、最大値は $b+c$ である。

問題の条件より、得られる和は $1+a$ から $b+c$ までの「すべての整数」となるため、得られる和の種類（要素の個数）は

$$ (b+c) - (1+a) + 1 = b + c - a \quad \text{（個）} $$

となる。和の組み合わせは最大で $6$ 通りであるため、得られる整数の種類も最大で $6$ 個である。すなわち、

$$ b + c - a \leqq 6 \quad \cdots (1) $$

一方、$1 < a < b < c$ は整数であるから、$a \geqq 2, \ b \geqq a+1, \ c \geqq a+2$ が成り立つ。これを用いると、

$$ b + c - a \geqq (a+1) + (a+2) - a = a + 3 $$

$a \geqq 2$ より $a + 3 \geqq 5$ であるから、

$$ b + c - a \geqq 5 \quad \cdots (2) $$

(1), (2) より、$b+c-a$ の値は $5$ または $6$ に絞られる。

(i)

$b + c - a = 5$ のとき（和の種類が5個のとき）

6通りの和のうち、ちょうど2つが同じ値になる必要がある。事前に確認した大小関係から、等しくなり得るのは順序が未確定である $1+c$ と $a+b$ のみである（すなわち $1+c = a+b$）。

このとき、和を小さい順に並べると

$$ 1+a < 1+b < 1+c \ (= a+b) < a+c < b+c $$

となる。これらが連続する整数となるためには、隣り合う項の差がすべて $1$ でなければならないため、

$(1+b) - (1+a) = 1 \implies b = a + 1$

$(1+c) - (1+b) = 1 \implies c = b + 1 = a + 2$

これらを $1+c = a+b$ に代入すると、

$$ 1 + (a + 2) = a + (a + 1) \implies a + 3 = 2a + 1 \implies a = 2 $$

これより、$b = 3, \ c = 4$ を得る。このとき和は $3, 4, 5, 5, 6, 7$ となり、確かに $1+a=3$ から $b+c=7$ までの $5$ 個の整数がすべて得られ、条件を満たす。

(ii)

$b + c - a = 6$ のとき（和の種類が6個のとき）

6通りの和はすべて異なる。$1+c$ と $a+b$ の大小関係により、小さい順の並び方は次の2つのケースが考えられる。

(ア)

$1+c < a+b$ の場合

小さい順に $1+a < 1+b < 1+c < a+b < a+c < b+c$ となる。隣り合う項の差がすべて $1$ になるので、

$(1+b) - (1+a) = 1 \implies b = a + 1$

$(1+c) - (1+b) = 1 \implies c = b + 1 = a + 2$

$(a+b) - (1+c) = 1 \implies (a+a+1) - (1+a+2) = 1 \implies a - 2 = 1 \implies a = 3$

これより、$b = 4, \ c = 5$ を得る。このとき和は $4, 5, 6, 7, 8, 9$ となり、確かに $1+a=4$ から $b+c=9$ までの $6$ 個の整数がすべて得られ、条件を満たす。

(イ)

$a+b < 1+c$ の場合

小さい順に $1+a < 1+b < a+b < 1+c < a+c < b+c$ となる。隣り合う項の差が $1$ になるので、

$(1+b) - (1+a) = 1 \implies b = a + 1$

$(a+b) - (1+b) = 1 \implies a = 1$

しかし、これは $a > 1$ という前提条件に矛盾するため不適。

以上 (i), (ii) より、求める $a, b, c$ の値の組は $(2, 3, 4)$ と $(3, 4, 5)$ である。

解説

集合の「要素の個数」に着目して場合分けを絞り込む、整数問題の典型的なアプローチです。問題文の「$1+a$ から $b+c$ までのすべての整数」という記述から、「最大値 $-$ 最小値 $+ 1$」が要素の個数に等しくなることを読み取り、それが最大でも $6$ 個にしかならない（${}_4\mathrm{C}_{2} = 6$ 通りだから）という制限を利用して $b+c-a \leqq 6$ という強力な不等式を導きます。また、大小関係を並べる際、$1+c$ と $a+b$ の大小関係だけが自明ではないことに気づけるかどうかが、その後の場合分けの正確さを左右します。