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九州大学 1992年理系第1問解説

方針・初手

与えられた2つのベクトル関係式の始点をすべて点 $E$ にそろえ、位置ベクトル $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ を用いた式に書き換える。そこから $\vec{a}$ を消去することで $\vec{c}$ と $\vec{b}, \vec{d}$ の関係を導く。その後はベクトルの基本的な性質を用いて図形的な位置関係や面積比を順に求めていく。

解法1

(1) 与えられた1つ目の関係式

$$2\overrightarrow{AE} + 3\overrightarrow{AD} + 2\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}$$

の始点を $E$ にそろえると、

$$-2\overrightarrow{EA} + 3(\overrightarrow{ED} - \overrightarrow{EA}) + 2(\overrightarrow{EB} - \overrightarrow{EA}) = \overrightarrow{0}$$

$$-7\overrightarrow{EA} + 2\overrightarrow{EB} + 3\overrightarrow{ED} = \overrightarrow{0}$$

これに $\vec{a} = \overrightarrow{EA}, \vec{b} = \overrightarrow{EB}, \vec{d} = \overrightarrow{ED}$ を代入して整理すると、

$$7\vec{a} = 2\vec{b} + 3\vec{d} \quad \cdots \text{①}$$

となる。

次に、2つ目の関係式

$$8\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AB} = 3(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DC})$$

の始点も $E$ にそろえると、

$$8\overrightarrow{EA} + (\overrightarrow{EB} - \overrightarrow{EA}) = 3 \{ (\overrightarrow{EC} - \overrightarrow{EB}) + (\overrightarrow{EC} - \overrightarrow{ED}) \}$$

$$7\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{EB} = 3(2\overrightarrow{EC} - \overrightarrow{EB} - \overrightarrow{ED})$$

$$7\overrightarrow{EA} = 6\overrightarrow{EC} - 4\overrightarrow{EB} - 3\overrightarrow{ED}$$

これに $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ を代入すると、

$$7\vec{a} = 6\vec{c} - 4\vec{b} - 3\vec{d} \quad \cdots \text{②}$$

となる。

①、②より $7\vec{a}$ を消去すると、

$$2\vec{b} + 3\vec{d} = 6\vec{c} - 4\vec{b} - 3\vec{d}$$

$$6\vec{c} = 6\vec{b} + 6\vec{d}$$

よって、

$$\vec{c} = \vec{b} + \vec{d}$$

を得る。

(2) (1)の結果から、

$$\overrightarrow{EC} = \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{ED}$$

$$\overrightarrow{EC} - \overrightarrow{EB} = \overrightarrow{ED}$$

$$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{ED}$$

が成り立つ。

点 $B, C, D, E$ は四角形の頂点であるから、1組の対辺が平行でその長さが等しい。

したがって、四角形 $BCDE$ は平行四辺形である。

(3) ①より、

$$\vec{a} = \frac{5}{7} \cdot \frac{2\vec{b} + 3\vec{d}}{5}$$

と変形できる。

ここで、$\overrightarrow{EF} = \frac{2\vec{b} + 3\vec{d}}{5}$ となる点 $F$ をとると、点 $F$ は線分 $BD$ を $3 : 2$ に内分する点である。

このとき、

$$\overrightarrow{EA} = \frac{5}{7} \overrightarrow{EF}$$

となるので、点 $F$ は直線 $EA$ と直線 $BD$ の交点と一致する。

また、点 $A$ は線分 $EF$ を $5 : 2$ に内分する点である。

したがって、$EA : AF = 5 : 2$ である。

(4) 平行四辺形 $BCDE$ の面積を $S$ とする。

対角線 $BD$ は平行四辺形の面積を2等分するので、

$$\triangle EBD = \triangle BCD = \frac{1}{2}S$$

である。

(3)より、点 $A, E, F$ はこの順に同一直線上にあり、$AF : EF = 2 : 7$ である。

$\triangle ABD$ と $\triangle EBD$ は底辺 $BD$ を共有しているため、面積の比は点 $A, E$ から直線 $BD$ に下ろした垂線の長さ（高さ）の比に等しい。

この高さの比は $AF : EF$ に等しいので、

$$\triangle ABD = \frac{2}{7} \triangle EBD = \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{2}S = \frac{1}{7}S$$

となる。

四角形 $ABCD$ の面積は $\triangle ABD$ と $\triangle BCD$ の面積の和であるから、

$$(\text{四角形 } ABCD \text{ の面積}) = \triangle ABD + \triangle BCD = \frac{1}{7}S + \frac{1}{2}S = \frac{9}{14}S$$

となる。

以上より、四角形 $ABCD$ と四角形 $BCDE$ の面積の比は、

$$\frac{9}{14}S : S = 9 : 14$$

である。

解説

ベクトルの図形への応用の標準的な問題である。始点がバラバラのベクトル等式が与えられた場合、まずは始点を1つの点（本問であれば点 $E$ または点 $A$ など）に統一することが基本方針となる。本問では問題文の誘導から $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ をおくことになっているため、始点を $E$ にそろえるのが最も自然である。

ベクトルを用いた面積比の計算では、基準となる三角形（本問であれば $\triangle EBD$）を定め、他の図形の面積をその何倍かで表す手法が確実である。