数学A 平面図形 問題 5 解説

方針・初手

内心 $I$ は角の二等分線上にあるので、$B,I,D$ は一直線上にある。

ここでは、$BI:ID$ と辺の長さの関係を面積で求めるのが最短である。内心から各辺への距離はすべて等しいため、内心を頂点にもつ三角形の面積は、対応する辺の長さに比例する。

解法1

$AC=x$ とおく。

内心 $I$ から各辺への距離を $r$ とする。このとき、

$$ [ABI]=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot r=\frac{5r}{2} $$

$$ [CBI]=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot r=\frac{3r}{2} $$

であるから、

$$ [ABI]+[CBI]=\frac{8r}{2} $$

である。

一方、三角形 $AIC$ について、底辺を $AC$ と見れば、高さは同じく $r$ であるから、

$$ [AIC]=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot r=\frac{xr}{2} $$

である。

ここで、$B,I,D$ は一直線上にあり、$D$ は辺 $AC$ 上の点である。したがって、三角形 $ABI$ と $CBI$ の面積の和、および三角形 $AID$ と $CID$ の面積の和は、それぞれ底辺を $BI,ID$ として考えることができる。

よって、

$$ \begin{aligned} \frac{BI}{ID} &= \frac{[ABI]+[CBI]}{[AID]+[CID]} \end{aligned} $$

である。また、$[AID]+[CID]=[AIC]$ だから、

$$ \begin{aligned} \frac{BI}{ID} &= \frac{\frac{8r}{2}}{\frac{xr}{2}} \\ \frac{8}{x} \end{aligned} $$

である。

問題より、

$$ \frac{ID}{BI}=\frac{3}{4} $$

なので、

$$ \frac{BI}{ID}=\frac{4}{3} $$

である。したがって、

$$ \frac{8}{x}=\frac{4}{3} $$

となる。これを解くと、

$$ 4x=24 $$

より、

$$ x=6 $$

である。よって、

$$ AC=6 $$

である。

次に、$E$ は直線 $AI$ と辺 $BC$ の交点である。$AI$ は $\angle A$ の二等分線だから、角の二等分線の定理より、

$$ BE:EC=AB:AC $$

である。したがって、

$$ BE:EC=5:6 $$

となる。

よって、

$$ \frac{BE}{EC}=\frac{5}{6} $$

である。

解説

この問題の要点は、$BI$ と $ID$ の比を直接長さで求めようとしないことである。内心から三角形の各辺への距離が等しいことを使うと、面積比を辺の長さの比に置き換えられる。

特に、$B,I,D$ が一直線上にあるため、

$$ BI:ID=(AB+BC):AC $$

という関係が得られる。これが分かれば $AC$ はすぐに決まり、その後は角の二等分線の定理で $BE:EC$ を求めればよい。

答え

$$ \frac{BE}{EC}=\frac{5}{6} $$

したがって、

$$ [ア]=5,\quad [イ]=6 $$

また、

$$ AC=6 $$

より、

$$ [ウ]=6 $$