数学A オイラーの多面体定理 問題 1 解説

方針・初手

凸多面体ではオイラーの多面体定理

$$ v-e+f=2 $$

が使える。また、各面が正方形または正六角形であることから、辺や頂点を「面の側から数える」方針が有効である。

特に $K'$ については、正方形の面の数を $s$、正六角形の面の数を $h$ とおくと、辺数や頂点数を $s,h$ で表せる。さらに、頂点まわりの角度和が $360^\circ$ 未満であることを使う。

解法1

まず $K$ について考える。

$K$ は凸多面体であり、頂点の数が $v=24$、辺の数が $e=36$ である。オイラーの多面体定理より、

$$ v-e+f=2 $$

であるから、

$$ 24-36+f=2 $$

となる。よって、

$$ f=14 $$

である。

したがって、$K$ の面の数は $14$ である。

次に $K'$ について考える。

$K'$ の任意の頂点に集まる面の数を考える。凸多面体の各頂点には少なくとも $3$ 個の面が集まる。

一方、正方形の内角は $90^\circ$、正六角形の内角は $120^\circ$ である。もしある頂点に $4$ 個以上の面が集まるなら、その頂点における面角の和は少なくとも

$$ 4\cdot 90^\circ=360^\circ $$

となる。

しかし、凸多面体の頂点では、そこに集まる面角の和は $360^\circ$ より小さい。したがって、$4$ 個以上の面が集まることはない。

よって、各頂点に集まる面の数はちょうど $3$ である。

次に、$K'$ の正方形の面の数を求める。$K'$ の正方形の面の数を $s$、正六角形の面の数を $h$ とする。

面の辺の数を全体で数えると、正方形は $4$ 本、正六角形は $6$ 本の辺をもつ。ただし各辺は $2$ つの面に共有されるので、

$$ 2e'=4s+6h $$

である。したがって、

$$ e'=2s+3h $$

である。

また、各頂点にはちょうど $3$ 個の面が集まるので、頂点と面の接し方を数えると、

$$ 3v'=4s+6h $$

である。よって、

$$ v'=\frac{4s+6h}{3} $$

である。

これらをオイラーの多面体定理

$$ v'-e'+f'=2 $$

に代入する。ただし $f'=s+h$ であるから、

$$ \frac{4s+6h}{3}-(2s+3h)+(s+h)=2 $$

となる。

左辺を整理すると、

$$ \frac{4s+6h-6s-9h+3s+3h}{3}=2 $$

すなわち、

$$ \frac{s}{3}=2 $$

である。したがって、

$$ s=6 $$

となる。

よって、$K'$ について、正方形である面の数は $6$ である。

最後に、$f\geqq f'$ を示す。

すでに $K$ について

$$ f=14 $$

である。また、$K'$ について正方形の面の数は $6$ だから、

$$ f'=6+h $$

である。

ここで、$K'$ の各頂点には $3$ 個の面が集まるが、正六角形 $3$ 個が同じ頂点に集まることはできない。なぜなら、正六角形の内角は $120^\circ$ なので、$3$ 個集まると角度和が

$$ 3\cdot 120^\circ=360^\circ $$

となり、凸多面体の頂点における角度和が $360^\circ$ 未満であることに反するからである。

したがって、$K'$ の各頂点には少なくとも $1$ つの正方形の面が集まる。

一方、正方形の面は $6$ 個であり、各正方形には $4$ 個の頂点があるので、正方形の面に現れる頂点の延べ数は

$$ 6\cdot 4=24 $$

である。

各頂点が少なくとも $1$ 回はこの延べ数に数えられるため、

$$ v'\leqq 24 $$

である。

また、

$$ 3v'=4s+6h $$

に $s=6$ を代入すると、

$$ 3v'=24+6h $$

であり、

$$ v'=8+2h $$

となる。

したがって、

$$ 8+2h\leqq 24 $$

より、

$$ h\leqq 8 $$

である。

ゆえに、

$$ f'=6+h\leqq 6+8=14 $$

となる。$K$ について $f=14$ であったから、

$$ f\geqq f' $$

が示された。

解説

この問題の中心は、面の種類が正方形と正六角形に限られていることを、辺数・頂点数の数え上げに変換する点である。

特に重要なのは、凸多面体の頂点では面角の和が $360^\circ$ 未満になることである。これにより、各頂点に集まる面の数が $3$ であること、さらに正六角形だけが $3$ 個集まることはないことが分かる。

正方形の個数が $6$ と決まるところは、オイラーの多面体定理と二重カウントを組み合わせる典型的な処理である。また、最後の $f'\leqq 14$ は、各頂点に少なくとも $1$ つの正方形が集まることから $v'\leqq 24$ を導くのが要点である。

答え

(1)

$$ f=14 $$

(2)

$K'$ の各頂点に集まる面の数は $3$ である。

(3)

$K'$ について、正方形である面の数は $6$ である。

(4)

$K'$ の正六角形の面の数を $h$ とすると、$h\leqq 8$ であり、

$$ f'=6+h\leqq 14=f $$

となる。したがって、

$$ f\geqq f' $$

である。