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九州大学 2008年理系第3問解説

方針・初手

面積比と線分比の関係を利用して、点の位置ベクトルを順に求めていく。 (1) は、2つの三角形の底辺を $AQ, BQ$ と見たとき、高さが共通であることから線分比 $AQ:BQ$ を面積比 $a, b$ で表す。 (2) は、$\triangle OAB$ と $\triangle PAB$ の面積に着目し、$OQ:QP$ を求めて $\overrightarrow{OP}$ を実数倍の形で表す。 (3) は、点 $P$ が3直線に接する円の中心であることから、3つの三角形の高さが等しいことに着目し、$a, b, c$ の比を辺の長さから決定する。

解法1

(1) 点 $A, B$ から直線 $OP$ に下ろした垂線の長さをそれぞれ $h_A, h_B$ とする。 $\triangle OAP$ と $\triangle OBP$ は底辺 $OP$ を共有しているため、その面積比は高さの比に等しい。

$$ a : b = \triangle OAP : \triangle OBP = h_A : h_B $$

一方、$\triangle OAQ$ と $\triangle OBQ$ は底辺 $OQ$ を共有しており、それぞれの高さも $h_A, h_B$ であるから、

$$ \triangle OAQ : \triangle OBQ = h_A : h_B = a : b $$

また、これら2つの三角形は直線 $AB$ 上の線分 $AQ, BQ$ を底辺とみれば高さが共通であるため、面積比は底辺の長さの比に等しい。

$$ AQ : BQ = \triangle OAQ : \triangle OBQ = a : b $$

点 $Q$ は線分 $AB$ を $a:b$ に内分する点であるから、

$$ \overrightarrow{OQ} = \frac{b\overrightarrow{OA} + a\overrightarrow{OB}}{a + b} $$

(2) $\triangle OAQ$ と $\triangle PAQ$ は直線 $OP$ 上の線分 $OQ, PQ$ を底辺とみれば高さが共通であるから、

$$ \triangle OAQ : \triangle PAQ = OQ : PQ $$

同様に、$\triangle OBQ$ と $\triangle PBQ$ についても、

$$ \triangle OBQ : \triangle PBQ = OQ : PQ $$

したがって、これらの面積の和の比も $OQ : PQ$ に等しい。

$$ (\triangle OAQ + \triangle OBQ) : (\triangle PAQ + \triangle PBQ) = OQ : PQ $$

ここで、$\triangle PAQ + \triangle PBQ = \triangle PAB = c$ であり、 $\triangle OAQ + \triangle OBQ = \triangle OAB$ である。さらに、四角形 $OAPB$ の面積について考えると、

$$ \triangle OAP + \triangle OBP = \triangle OAB + \triangle PAB $$

$$ a + b = \triangle OAB + c $$

よって、$\triangle OAB = a + b - c$ となる。ゆえに、

$$ OQ : PQ = (a + b - c) : c $$

点 $P$ は点 $Q$ に関して点 $O$ と反対側にあるため、$O, Q, P$ の順に並ぶ。よって、

$$ OP = OQ + PQ $$

$$ OQ : OP = OQ : (OQ + PQ) = (a + b - c) : (a + b) $$

したがって、

$$ \overrightarrow{OP} = \frac{a + b}{a + b - c} \overrightarrow{OQ} $$

(1) の結果を代入して、

$$ \overrightarrow{OP} = \frac{a + b}{a + b - c} \cdot \frac{b\overrightarrow{OA} + a\overrightarrow{OB}}{a + b} = \frac{b\overrightarrow{OA} + a\overrightarrow{OB}}{a + b - c} $$

(3) 点 $P$ を中心とし、3直線 $OA, OB, AB$ に接する円の半径を $r$ とすると、点 $P$ から各直線までの距離はすべて $r$ である。点 $P$ は $\angle AOB$ の内部にあり、直線 $AB$ に関して原点 $O$ の反対側にあるため、この円は $\triangle OAB$ の $\angle AOB$ 内の傍接円である。したがって、各三角形の面積 $a, b, c$ は以下のように表せる。

$$ a = \triangle OAP = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot r = \frac{3}{2} r $$

$$ b = \triangle OBP = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot r = \frac{5}{2} r $$

$$ c = \triangle ABP = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot r = \frac{6}{2} r = 3r $$

これにより、面積の比は、

$$ a : b : c = \frac{3}{2} r : \frac{5}{2} r : 3r = 3 : 5 : 6 $$

よって、$a = 3k, b = 5k, c = 6k$ （$k > 0$）とおくことができる。これを (2) の結果に代入すると、

$$ \overrightarrow{OP} = \frac{5k\overrightarrow{OA} + 3k\overrightarrow{OB}}{3k + 5k - 6k} = \frac{5k\overrightarrow{OA} + 3k\overrightarrow{OB}}{2k} = \frac{5}{2}\overrightarrow{OA} + \frac{3}{2}\overrightarrow{OB} $$

解説

面積比と線分比の変換を的確に行えるかを問う標準的なベクトルと図形の問題である。 (1) と (2) では、高さを共有する三角形を見つけ、面積比から線分比（内分比や外分比）を導き出す定石を用いる。ベクトル問題では、面積比の条件が与えられた際に、それを基底となるベクトルの係数に変換する手順が頻出である。 (3) の条件である「点 $P$ を中心とし、3直線に接する円」は、三角形の傍接円（の中心である傍心）を意味している。点から各直線に下ろした垂線の長さが等しいことから、各辺を底辺としたときの三角形の高さが等しくなることに気付けば、面積比はそのまま底辺の長さの比として簡単に求めることができる。