名古屋大学 1961年 文系 第4問 解説

方針・初手

速度 $v$ を時間 $t$ で積分することで位置 $x$ を求め、速度 $v$ を時間 $t$ で微分することで加速度 $\alpha$ を求めることができる。

(1) では、初期条件（$t=0$ で原点）を満たすように積分を実行する。

(2) では、$v$ を微分して $t=0$ を代入する。

(3) では、位置 $x(t)$ の増減を調べて、そのとり得る値の最大値と最小値を求める。

解法1

(1)

出発してからの時間を $t$ 秒、そのときの点の位置を $x(t)$ とおく。

点は直線上を原点から出発するため、$x(0) = 0$ である。 位置 $x(t)$ は速度 $v(t)$ を積分して求められるので、

$$ x(t) = \int_{0}^{t} v(s) \, ds $$

$$ = \int_{0}^{t} (\cos s + \cos 2s) \, ds $$

$$ = \left[ \sin s + \frac{1}{2} \sin 2s \right]_{0}^{t} $$

$$ = \sin t + \frac{1}{2} \sin 2t $$

したがって、$t$ 秒後の点の位置は $\sin t + \frac{1}{2} \sin 2t$ である。

(2)

加速度を $\alpha(t)$ とおく。加速度は速度 $v(t)$ の時間微分であるから、

$$ \alpha(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} (\cos t + \cos 2t) $$

$$ = -\sin t - 2 \sin 2t $$

出発時、すなわち $t=0$ における加速度は、

$$ \alpha(0) = -\sin 0 - 2 \sin 0 = 0 $$

したがって、出発時における加速度は $0$ である。

(3)

点の動く範囲を求めるため、$0 \leqq t \leqq \pi$ における $x(t)$ の増減を調べる。

$x(t)$ の導関数は $v(t)$ である。$\cos 2t = 2\cos^2 t - 1$ より、

$$ x'(t) = v(t) = \cos t + 2\cos^2 t - 1 $$

$$ = (2\cos t - 1)(\cos t + 1) $$

$0 \leqq t \leqq \pi$ において $\cos t + 1 \geqq 0$ であるため、$x'(t)$ の符号は $2\cos t - 1$ の符号と一致する。

$x'(t) = 0$ となる $t$ を求めると、

$$ 2\cos t - 1 = 0 \quad \text{または} \quad \cos t + 1 = 0 $$

より、$t = \frac{\pi}{3}, \pi$ である。

これをもとに $x(t)$ の増減表をかくと、以下のようになる。

$t = \frac{\pi}{3}$ のときの $x(t)$ の値は、

$$ x\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{\pi}{3} + \frac{1}{2}\sin\frac{2\pi}{3} $$

$$ = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4} $$

また、$t = 0, \pi$ のときの値はそれぞれ $x(0) = 0$、$x(\pi) = 0$ である。

したがって、$0 \leqq t \leqq \pi$ における $x(t)$ の最大値は $\frac{3\sqrt{3}}{4}$、最小値は $0$ である。

解説

直線上の運動において、位置・速度・加速度の関係を問う基本問題である。

速度 $v(t)$ を時間 $t$ で積分すると変位（位置の変化量）となり、速度 $v(t)$ を時間 $t$ で微分すると加速度となる。この基本的な定義を正確に運用できるかが問われている。

(3) では、三角関数の倍角の公式を用いて導関数 $v(t)$ を因数分解し、符号変化を調べるという数学II・数学IIIの標準的な微分の処理を行う。

答え

(1) $\sin t + \frac{1}{2} \sin 2t$

(2) $0$

(3) $0$ 以上 $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ 以下