東北大学 1961年 理系 第6問 解説

方針・初手

金属板の幅 $2a$ は、断面における円弧の長さに対応します。円の半径を $r$ とおき、弧長が $2a$ であることと中心角が $2\theta$ であることから、$r$ を $a$ と $\theta$ を用いて表します。

続いて、断面積 $S$ は中心角 $2\theta$ の扇形の面積と三角形の面積の差として求められるため、これを立式して $\theta$ で微分し、増減を調べます。

解法1

円弧の半径を $r$ とおく。

金属板の幅 $2a$ は円弧の長さに等しく、弧 $AB$ の中心角は $2\theta$ であるから、

$$ r \cdot 2\theta = 2a $$

$$ r = \frac{a}{\theta} $$

と表せる。

次に、雨樋の断面積 $S$ を求める。

$S$ は、弧 $AB$ と弦 $AB$ によって囲まれた弓形の面積である。

中心を $O$ とすると、この面積は扇形 $OAB$ の面積から $\triangle OAB$ の面積を引いたものとして統一的に表される。 （$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ のときは中心角 $2\theta$ が $\pi$ を超え、$\triangle OAB$ の面積を「引く」操作が実際には「足す」操作となるが、数式としては同一の形になる。）

扇形 $OAB$ の面積は $\frac{1}{2} r^2 (2\theta)$、$\triangle OAB$ の面積は $\frac{1}{2} r^2 \sin 2\theta$ であるから、

$$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2} r^2 (2\theta) - \frac{1}{2} r^2 \sin 2\theta \\ &= \frac{1}{2} r^2 (2\theta - \sin 2\theta) \end{aligned} $$

これに $r = \frac{a}{\theta}$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \left( \frac{a}{\theta} \right)^2 (2\theta - \sin 2\theta) \\ &= \frac{a^2(2\theta - \sin 2\theta)}{2\theta^2} \end{aligned} $$

これが求める $S$ の式である。

次に、$0 < \theta < \pi$ における $S$ の最大値を求めるために $\theta$ で微分する。

$$ \begin{aligned} \frac{dS}{d\theta} &= \frac{a^2}{2} \cdot \frac{(2 - 2\cos 2\theta)\theta^2 - (2\theta - \sin 2\theta) \cdot 2\theta}{\theta^4} \\ &= \frac{a^2}{2\theta^4} \left( 2\theta^2 - 2\theta^2 \cos 2\theta - 4\theta^2 + 2\theta \sin 2\theta \right) \\ &= \frac{a^2}{\theta^4} \left( -\theta^2 - \theta^2 \cos 2\theta + \theta \sin 2\theta \right) \\ &= \frac{a^2}{\theta^3} \left( -\theta(1 + \cos 2\theta) + \sin 2\theta \right) \end{aligned} $$

ここで、倍角の公式 $1 + \cos 2\theta = 2\cos^2\theta$ および $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ を用いると、

$$ \begin{aligned} \frac{dS}{d\theta} &= \frac{a^2}{\theta^3} \left( -\theta \cdot 2\cos^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta \right) \\ &= \frac{2a^2\cos\theta}{\theta^3} (\sin\theta - \theta\cos\theta) \end{aligned} $$

となる。

$f(\theta) = \sin\theta - \theta\cos\theta$ とおき、$0 < \theta < \pi$ における符号を調べる。

$$ \begin{aligned} f'(\theta) &= \cos\theta - (\cos\theta - \theta\sin\theta) \\ &= \theta\sin\theta \end{aligned} $$

$0 < \theta < \pi$ において $\theta > 0$ かつ $\sin\theta > 0$ であるから、$f'(\theta) > 0$ となり、$f(\theta)$ は単調に増加する。

さらに $f(0) = 0$ であるため、$0 < \theta < \pi$ において常に $f(\theta) > 0$ である。

また、$\frac{2a^2}{\theta^3} > 0$ であるから、$\frac{dS}{d\theta}$ の符号は $\cos\theta$ の符号と一致する。

したがって、$S$ の増減表は以下のようになる。

増減表より、$S$ は $\theta = \frac{\pi}{2}$ で極大かつ最大となる。

解説

図形量の最大・最小を求める微分法の典型問題です。 重要なポイントは以下の2点です。

1. 変数の設定と式の立式 弧度法の定義 $l = r\theta$ を正しく用い、弓形の面積を立式できるかが第一関門です。中心角が $\pi$ を超える場合でも、$\triangle OAB$ の面積を $\frac{1}{2}r^2\sin 2\theta$ として「引く」式を立てれば、$\sin 2\theta$ が負になることで自動的に面積が「足される」ため、統一的な式で扱えます。

2. 導関数の符号判定 微分した後の式が複雑になりますが、共通因数をくくり出し、符号が自明でない部分（本問では $\sin\theta - \theta\cos\theta$）を取り出してさらに微分する、という定石を踏むことで確実に極値を求めることができます。

答え

$$ S = \frac{a^2(2\theta - \sin 2\theta)}{2\theta^2} $$

$S$ が最大となる $\theta$ は、

$$ \theta = \frac{\pi}{2} $$