東北大学 1973年 文系 第1問 解説

方針・初手

（1） は、$x+y+z$ と $x^2+y^2+z^2$ を結びつける不等式を使えばよい。典型的には

$$ (x+y+z)^2 \leqq 3(x^2+y^2+z^2) $$

を用いる。

（2） は、条件 $x+y+z=x^2+y^2+z^2=a$ を （1） の結果に代入して、まず $a$ の値を絞る。その後、等号成立条件から $x,y,z$ を決定する。

解法1

(1)

実数 $x,y,z$ に対して、平方は常に $0$ 以上であるから、

$$ \sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{3}} \geqq 0 $$

である。

また、展開すると

$$ (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 \geqq 0 $$

より

$$ 2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+zx)\geqq 0 $$

したがって

$$ x^2+y^2+z^2 \geqq xy+yz+zx $$

である。よって

$$ (x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) \leqq 3(x^2+y^2+z^2) $$

となる。両辺を $9$ で割ると

$$ \left(\frac{x+y+z}{3}\right)^2 \leqq \frac{x^2+y^2+z^2}{3} $$

であり、左辺の絶対値を取れば

$$ \left|\frac{x+y+z}{3}\right| \leqq \sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{3}} $$

となる。特に

$$ \frac{x+y+z}{3} \leqq \sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{3}} $$

である。

したがって、

$$ \sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{3}} \geqq \frac{x+y+z}{3} $$

である。

等号成立を考える。上の議論で等号が成り立つためには

$$ \left|\frac{x+y+z}{3}\right|=\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{3}} $$

かつ

$$ \frac{x+y+z}{3}\geqq 0 $$

が必要である。前者の等号成立は

$$ x=y=z $$

のときに限る。さらにその共通の値を $t$ とすると、

$$ \sqrt{\frac{3t^2}{3}}=t $$

より $|t|=t$、すなわち $t\geqq 0$ である。よって等号成立は

$$ x=y=z\geqq 0 $$

のときに限る。

(2)

条件より

$$ x+y+z=a,\qquad x^2+y^2+z^2=a $$

である。

これを （1） の不等式に代入すると

$$ \sqrt{\frac{a}{3}} \geqq \frac{a}{3} $$

を得る。ここで $a\geqq 3$ だから両辺とも $0$ 以上であり、二乗してよい。すると

$$ \frac{a}{3} \geqq \frac{a^2}{9} $$

すなわち

$$ 3a \geqq a^2 $$

となる。よって

$$ a(a-3)\leqq 0 $$

である。一方で $a\geqq 3$ だから、

$$ a=3 $$

でなければならない。

したがって

$$ x+y+z=x^2+y^2+z^2=3 $$

である。このとき （1） の不等式は

$$ \sqrt{\frac{3}{3}}=\frac{3}{3} $$

となり、等号が成り立っている。よって等号成立条件から

$$ x=y=z\geqq 0 $$

である。さらに

$$ x+y+z=3 $$

より

$$ x=y=z=1 $$

を得る。

実際、$x=y=z=1$ とすれば

$$ x+y+z=3,\qquad x^2+y^2+z^2=3 $$

となり条件を満たす。

解説

この問題の本質は、3つの実数に対する

$$ (x+y+z)^2 \leqq 3(x^2+y^2+z^2) $$

である。これは「平均の二乗は二乗平均以下」であることを表している。

（2） では $x+y+z$ と $x^2+y^2+z^2$ がともに $a$ に等しいので、この不等式に代入するだけで $a$ が強く制限される。さらに、等号成立条件まで追うことで $x,y,z$ が一意に決まる。単に $a=3$ を出して終わりにせず、等号成立条件まで確認することが重要である。

答え

(1)

$$ \sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{3}} \geqq \frac{x+y+z}{3} $$

である。等号成立は

$$ x=y=z\geqq 0 $$

のときに限る。

(2)

条件を満たすのは

$$ a=3,\qquad x=y=z=1 $$

の場合のみである。