数学1 二次不等式問題 3 解説

方針・初手

与えられた2次不等式の左辺は、$x-a$ を一つの塊と見なすことで容易に因数分解できる。因数分解した後は、$k$ の正負によって2つの解の大小関係が変わることに注意して場合分けを行う。または、解が $4 < x < 6$ となる2次不等式を立式し、与式を展開したものと係数比較を行う方法も有効である。

解法1

与えられた不等式は

$$ (x-a)^2 - 3k(x-a) + 2k^2 < 0 $$

左辺を因数分解すると

$$ \{(x-a) - k\}\{(x-a) - 2k\} < 0 $$

$$ (x - a - k)(x - a - 2k) < 0 $$

この不等式の解は、$a+k$ と $a+2k$ の大小関係によって変わる。

(i) $k > 0$ のとき

$a+k < a+2k$ であるから、不等式の解は

$$ a+k < x < a+2k $$

これが $4 < x < 6$ と一致するための条件は

$$ \begin{cases} a+k = 4 \\ a+2k = 6 \end{cases} $$

これを解いて $k=2, a=2$。これは $k > 0$ を満たす。

(ii) $k = 0$ のとき

不等式は $(x-a)^2 < 0$ となり、これを満たす実数 $x$ は存在しないため不適。

(iii) $k < 0$ のとき

$a+2k < a+k$ であるから、不等式の解は

$$ a+2k < x < a+k $$

これが $4 < x < 6$ と一致するための条件は

$$ \begin{cases} a+2k = 4 \\ a+k = 6 \end{cases} $$

これを解いて $k=-2, a=8$。これは $k < 0$ を満たす。

以上より、条件を満たす $(a, k)$ の組は $(2, 2)$ と $(8, -2)$ である。問題の条件 $k_1 < 0 \leqq k_2$ より、$k_1 = -2, k_2 = 2$ となるように対応させる。

したがって、 $(a_1, k_1) = (8, -2)$、$(a_2, k_2) = (2, 2)$

解法2

解が $4 < x < 6$ となる $x^2$ の係数が $1$ の2次不等式は

$$ (x-4)(x-6) < 0 $$

展開して

$$ x^2 - 10x + 24 < 0 $$

一方、与えられた不等式を展開して $x$ について整理すると

$$ x^2 - 2ax + a^2 - 3kx + 3ka + 2k^2 < 0 $$

$$ x^2 - (2a+3k)x + (a^2+3ka+2k^2) < 0 $$

これら2つの不等式は同値であるから、係数を比較して

$$ \begin{cases} 2a + 3k = 10 \\ a^2 + 3ka + 2k^2 = 24 \end{cases} $$

第2式の左辺は因数分解できるので

$$ (a+k)(a+2k) = 24 $$

第1式より $a = \frac{10-3k}{2}$ を代入して

$$ \left(\frac{10-3k}{2} + k\right)\left(\frac{10-3k}{2} + 2k\right) = 24 $$

$$ \left(\frac{10-k}{2}\right)\left(\frac{10+k}{2}\right) = 24 $$

$$ \frac{100 - k^2}{4} = 24 $$

$$ 100 - k^2 = 96 $$

$$ k^2 = 4 $$

したがって $k = \pm 2$。

$k = 2$ のとき、第1式に代入して $2a + 6 = 10$ より $a = 2$。 $k = -2$ のとき、第1式に代入して $2a - 6 = 10$ より $a = 8$。

条件 $k_1 < 0 \leqq k_2$ に当てはめると、 $(a_1, k_1) = (8, -2)$、$(a_2, k_2) = (2, 2)$

解説

2次不等式を解く上で基本となる「因数分解」と「区間の両端の大小関係」に注目する標準的な問題である。解法1のように $(x-a)$ を塊と見て因数分解に気付けば計算量が少なく済む。その際、文字定数 $k$ の符号による場合分けを忘れないことが重要である。解法2の「解から不等式を逆算して係数比較する」アプローチも、汎用性が高く確実な方法である。