数学1 二次不等式 問題 4 解説

方針・初手

2つの2次不等式をそれぞれ解き、1つ目の不等式の解の集合が、2つ目の不等式の解の集合に含まれるような $a$ の条件を求める。2つ目の不等式は因数分解でき、解は $a$ の値によって場合分けが必要になる。

解法1

1つ目の不等式 $x^2 + 14x + 48 < 0$ を解く。

左辺を因数分解して、

$$(x + 6)(x + 8) < 0$$

よって、その解は

$$-8 < x < -6 \quad \cdots (1)$$

次に、2つ目の不等式 $x^2 - ax - 2a^2 > 0$ について考える。

左辺を因数分解して、

$$(x + a)(x - 2a) > 0 \quad \cdots (2)$$

方程式 $(x + a)(x - 2a) = 0$ の解は $x = -a, 2a$ であり、$a$ の値によって大小関係が変わるため、場合分けを行う。

(i) $a > 0$ のとき

$-a < 0 < 2a$ より $-a < 2a$ であるから、不等式(2)の解は

$$x < -a, \quad 2a < x$$

となる。条件は、(1)の範囲 $-8 < x < -6$ がこの解の範囲に完全に含まれることである。

したがって、以下のいずれかが成り立てばよい。

$$-6 \leqq -a \quad \text{または} \quad 2a \leqq -8$$

すなわち

$$a \leqq 6 \quad \text{または} \quad a \leqq -4$$

$a > 0$ であるから、

$$0 < a \leqq 6$$

(ii) $a = 0$ のとき

不等式(2)は $x^2 > 0$ となり、その解は $0$ 以外のすべての実数（$x \neq 0$）である。

(1)の範囲 $-8 < x < -6$ は $0$ を含まないため、この範囲のすべての $x$ は不等式(2)を満たす。

よって、$a = 0$ は条件を満たす。

(iii) $a < 0$ のとき

$2a < 0 < -a$ より $2a < -a$ であるから、不等式(2)の解は

$$x < 2a, \quad -a < x$$

となる。条件は、(1)の範囲 $-8 < x < -6$ がこの解の範囲に完全に含まれることである。

したがって、以下のいずれかが成り立てばよい。

$$-6 \leqq 2a \quad \text{または} \quad -a \leqq -8$$

すなわち

$$a \ge -3 \quad \text{または} \quad a \ge 8$$

$a < 0$ であるから、

$$-3 \leqq a < 0$$

(i), (ii), (iii) より、求める $a$ の範囲はこれらを合わせて、

$$-3 \leqq a \leqq 6$$

解説

文字を含む2次不等式の解法と、集合の包含関係を問う標準的な問題である。

因数分解後の2解 $-a$ と $2a$ の大小関係が $a$ の符号によって変わるため、丁寧に場合分けをして数直線上で包含関係を考えることが重要である。

特に、端点の等号（$\leqq$）の有無でミスが起きやすい。開区間 $(-8, -6)$ が $x < -a$ に含まれるためには、境界が一致する $-6 = -a$ のときも条件を満たすため（$-8 < x < -6$ の範囲の $x$ は確実に $x < -6$ を満たす）、等号が必要となる点に注意したい。

答え

$$-3 \leqq a \leqq 6$$