数学1 二次不等式 問題 5 解説

方針・初手

2次不等式を解く基本的な問題である。左辺の2次式を因数分解し、不等式を満たす $x$ の範囲を求める。

解法1

与えられた不等式は以下の通りである。

$$ 4x^2 - 37x + 63 < 0 $$

左辺の2次式をたすき掛けを用いて因数分解する。$x^2$ の係数 $4$ と定数項 $63$ の積の組み合わせから、$x$ の係数が $-37$ になるものを探す。

$$ (4x - 9)(x - 7) < 0 $$

$4x - 9 = 0$ の解は $x = \frac{9}{4}$ であり、$x - 7 = 0$ の解は $x = 7$ である。

したがって、この2次不等式を解くと、

$$ \frac{9}{4} < x < 7 $$

解説

基本的な2次不等式の解法である。左辺 $4x^2 - 37x + 63$ の因数分解が最大のポイントとなる。$x^2$ の係数が $4$、定数項が $63$ とやや大きいため、たすき掛けの組み合わせを素早く見つけられるかが鍵となる。

$4 = 1 \times 4 = 2 \times 2$、$63 = 1 \times 63 = 3 \times 21 = 7 \times 9$ といった約数の組み合わせを考え、和がマイナスであることから定数項側の因数は両方とも負であると判断し、適切に組み合わせを絞り込むとよい。

答え

$$ \frac{9}{4} < x < 7 $$