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東北大学 2005年文系第2問解説

方針・初手

$E$ は $CD$ 上にあり、$\triangle ACE$ と $\triangle ADE$ は底辺をともに直線 $CD$ 上にもつので、面積が等しいことからまず $CE=DE$、すなわち $E$ が $CD$ の中点であることが分かる。

すると

$$ [\triangle ACD]=[\triangle ACE]+[\triangle ADE]=2[\triangle ABC] $$

となるので、$\triangle ABC,\triangle ACD$ の面積を $AC$ を用いて表せば $\alpha,\beta$ の関係が出る。さらに (2) では $\alpha=\beta$ を使って $\angle DAB=2\alpha$ とし、座標を置くと $\angle CAE$ が直接求まる。

解法1

(1) $\alpha=\beta$ を示す。

まず、$\triangle ACE$ と $\triangle ADE$ はともに底辺を直線 $CD$ 上にもつ。頂点はいずれも $A$ であるから、高さは等しい。したがって面積が等しいことより

$$ CE=DE $$

である。よって $E$ は $CD$ の中点である。

次に、$\triangle ACE$ と $\triangle ADE$ の面積が等しいので

$$ [\triangle ACD]=[\triangle ACE]+[\triangle ADE]=2[\triangle ABC] $$

である。

ここで

$$ [\triangle ABC]=\frac12 ,AB\cdot AC\sin\alpha =\frac12 ,r\cdot AC\sin\alpha $$

また

$$ [\triangle ACD]=\frac12 ,AD\cdot AC\sin\beta =\frac12 \cdot 2r\cdot AC\sin\beta =r\cdot AC\sin\beta $$

であるから、

$$ r\cdot AC\sin\beta =2\cdot \frac12 ,r\cdot AC\sin\alpha =r\cdot AC\sin\alpha $$

となり、

$$ \sin\beta=\sin\alpha $$

を得る。

一方、$\alpha,\beta>0$ であり、

$$ \alpha+\beta=\angle DAB<180^\circ $$

である。したがって $\sin\beta=\sin\alpha$ から起こりうるのは $\beta=\alpha$ または $\alpha+\beta=180^\circ$ のどちらかであるが、後者は不可能である。

よって

$$ \alpha=\beta $$

が示された。

(2) $\cos\angle DAB=\dfrac35$ のとき、$\sin\angle CAE$ を求める。

(1) より

$$ \angle DAB=\alpha+\beta=2\alpha $$

である。したがって

$$ \cos 2\alpha=\frac35 $$

を満たす。

また、$\triangle ABC$ で $AB=BC=r$ だから、余弦定理より

$$ BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos\alpha $$

すなわち

$$ r^2=r^2+AC^2-2r\cdot AC\cos\alpha $$

であるから、

$$ AC=2r\cos\alpha $$

を得る。

ここで座標を

$$ A=(0,0),\qquad C=(2r\cos\alpha,,0) $$

とおく。さらに $\angle CAD=\alpha,\ AD=2r$ より

$$ D=(2r\cos\alpha,,2r\sin\alpha) $$

となる。

すでに $E$ は $CD$ の中点であるから、

$$ E=\left(2r\cos\alpha,,r\sin\alpha\right) $$

である。

よって $\theta=\angle CAE$ とおくと、$AC$ は $x$ 軸上にあるので

$$ \tan\theta =\frac{r\sin\alpha}{2r\cos\alpha} =\frac12 \tan\alpha $$

である。

一方、

$$ \cos 2\alpha=\frac{1-\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}=\frac35 $$

より

$$ 5(1-\tan^2\alpha)=3(1+\tan^2\alpha) $$

したがって

$$ 2=8\tan^2\alpha $$

となり、

$$ \tan^2\alpha=\frac14 $$

である。$\alpha$ は鋭角なので

$$ \tan\alpha=\frac12 $$

したがって

$$ \tan\theta=\frac12\cdot \frac12=\frac14 $$

である。

ゆえに

$$ \sin\theta =\frac{\tan\theta}{\sqrt{1+\tan^2\theta}} =\frac{1/4}{\sqrt{1+1/16}} =\frac1{\sqrt{17}} $$

となる。

よって

$$ \sin\angle CAE=\frac1{\sqrt{17}} $$

である。

解説

この問題の要点は、面積条件をそのまま計算する前に、$\triangle ACE$ と $\triangle ADE$ が同じ高さをもつことから $E$ が $CD$ の中点であると見抜くことである。ここが出発点である。

(1) では $[\triangle ACD]=2[\triangle ABC]$ に直してから、どちらも $AC$ を共通辺にもつ三角形として面積を表せば、すぐに $\sin\alpha=\sin\beta$ が出る。あとは $\alpha+\beta<180^\circ$ を用いて $\alpha=\beta$ に落とせばよい。

(2) では $\alpha=\beta$ により $\angle DAB=2\alpha$ となるので、与えられた余弦の値から $\alpha$ を決められる。さらに $AB=BC$ から $AC=2r\cos\alpha$ が出るため、座標を置くと $C,D,E$ の位置がきれいに書け、$\angle CAE$ は傾きだけで処理できる。