東北大学 2005年 文系 第3問 解説

方針・初手

各回の操作は，出た目が異なるときに「黒いサイコロの番号の箱から白いサイコロの番号の箱へ1枚移す」というものである。したがって，3回振ったあとの各箱の皿の枚数は，

$$ 3+(\text{その箱への移動回数})-(\text{その箱からの移動回数}) $$

で決まる。

よって，求める最終状態が実現するために，3回の操作としてどのような移動列が必要かをまず特定し，そのような出方の総数を数えればよい。1回の出方は白・黒それぞれ6通りなので，3回の出方の総数は

$$ 36^3 $$

である。

解法1

(1) 皿が4枚の箱と2枚の箱がそれぞれ3個ずつとなる確率

最終的に4枚の箱は「もとの3枚から1枚増えた箱」，2枚の箱は「1枚減った箱」である。

したがって，各箱の増減は

• 3個の箱が $+1$
• 3個の箱が $-1$

でなければならない。

3回の操作で増える皿の総数は，実際に移動が起これば1回につき1枚ずつである。ここで最終的な増加分の総和は

$$ 1+1+1=3 $$

であるから，3回とも移動が起こらなければならない。すなわち，3回とも白黒の出目は異なる。

さらに，各箱の増減が $\pm1$ しかないので，

• 同じ箱から2回移してはならない
• 同じ箱へ2回移してはならない
• ある箱が「出す側」と「受け取る側」の両方になってもならない

ことが分かる。よって，6個の箱は

• 3個の「1回ずつ出す箱」
• 残り3個の「1回ずつ受け取る箱」

に分かれ，3回の操作ではそれぞれがちょうど1回ずつ使われる。

3回の操作を順に見て，

• 移動元となる3個の箱の並べ方は

$$ {}_6P_3=6\cdot5\cdot4 $$

通り

• 移動先は，残り3個の箱を順に割り当てればよいから

$$ {}_3P_3=3\cdot2\cdot1 $$

通り

である。

したがって，条件を満たす3回の出方の総数は

$$ {}_6P_3\cdot{}_3P_3 =6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 =720 $$

通りである。

よって求める確率は

$$ \frac{720}{36^3} =\frac{720}{46656} =\frac{5}{324} $$

である。

(2) 皿が3枚の箱が2個，5枚の箱，4枚の箱，2枚の箱，1枚の箱がそれぞれ1個ずつとなる確率

最終状態を，もとの3枚からの増減で見ると

• 5枚の箱： $+2$
• 4枚の箱： $+1$
• 2枚の箱： $-1$
• 1枚の箱： $-2$
• 3枚の箱2個： $0,0$

である。

ここでも増加分の総和は

$$ 2+1=3 $$

であるから，3回とも移動が起こらなければならない。

5枚になる箱を $A$，4枚になる箱を $B$，2枚になる箱を $C$，1枚になる箱を $D$ とする。

このとき，

• $A$ は最終的に $+2$ なので，2回受け取るしかない
• $B$ は最終的に $+1$ なので，1回受け取るしかない
• $C$ は最終的に $-1$ なので，1回出すしかない
• $D$ は最終的に $-2$ なので，2回出すしかない

となる。3回しか操作がないので，3枚のままの2個の箱はまったく関与しない。

したがって，3回の移動は必ず

$$ D\to A,\quad D\to A,\quad C\to B $$

の3回である。

まず，6個の箱から

• 5枚になる箱 $A$
• 4枚になる箱 $B$
• 2枚になる箱 $C$
• 1枚になる箱 $D$

を選ぶ方法は

$$ 6\cdot5\cdot4\cdot3=360 $$

通りである。

次に，3回のうちどの1回が $C\to B$ であるかを決めれば，残り2回は $D\to A$ に決まるので，移動列の順序は

$$ \frac{3!}{2!}=3 $$

通りである。

よって条件を満たす3回の出方の総数は

$$ 360\cdot3=1080 $$

通りである。

したがって求める確率は

$$ \frac{1080}{36^3} =\frac{1080}{46656} =\frac{5}{216} $$

である。

解説

この問題では，各回の操作を「どの箱からどの箱へ1枚動くか」という有向辺として捉えるのが有効である。すると，各箱の最終枚数は「入ってくる回数」と「出ていく回数」の差だけで決まる。

(1) では各箱の変化量がすべて $\pm1$ であるから，同じ箱が2回以上関与したり，出す側と受け取る側を兼ねたりできない。このため，6個の箱がちょうど「3個の移動元」と「3個の移動先」に分かれる。

(2) では変化量が $+2,+1,-1,-2,0,0$ と決まっているので，3回の移動の内容が事実上ただ1種類に定まる。3枚のままの箱を途中で経由させる余地はない，という点が重要である。

答え

$$ \text{(1)}\ \frac{5}{324} $$

$$ \text{(2)}\ \frac{5}{216} $$