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東北大学 2007年理系第2問解説

方針・初手

点 $D$ は $\angle A$ の二等分線と $BC$ の交点であり、しかも $\angle C=90^\circ$ である。したがって三角形 $ACD$ は直角三角形で、$\angle CAD=\dfrac{\theta}{2}$ となる。

与えられた長さ $AC=4,\ CD=3,\ AD=5$ より、まず三角形 $ACD$ に注目して $\dfrac{\theta}{2}$ の三角比を求めるのが最も自然である。

解法1

三角形 $ACD$ は $\angle C=90^\circ$ の直角三角形であり、

$$ AC=4,\quad CD=3,\quad AD=5 $$

であるから、$\angle CAD=\dfrac{\theta}{2}$ に対して

$$ \sin \frac{\theta}{2}=\frac{CD}{AD}=\frac{3}{5},\qquad \cos \frac{\theta}{2}=\frac{AC}{AD}=\frac{4}{5} $$

となる。

したがって、倍角公式より

$$ \sin\theta ========== # 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2} # 2\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{4}{5} \frac{24}{25} $$

よって (1) の答えは

$$ \sin\theta=\frac{24}{25} $$

である。

次に (2) を示す。

同様に倍角公式から

$$ \cos\theta ========== # \cos^2\frac{\theta}{2}-\sin^2\frac{\theta}{2} # \left(\frac{4}{5}\right)^2-\left(\frac{3}{5}\right)^2 \frac{7}{25} $$

よって

$$ \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta} ======================================== # \frac{24/25}{7/25} \frac{24}{7} $$

一方、

$$ \tan\frac{5\pi}{12} =================== # \tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}\right) # \frac{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}} 2+\sqrt{3} $$

である。

ここで

$$ \frac{24}{7}<2+\sqrt{3} $$

を示せばよい。これは

$$ \frac{24}{7}<2+\sqrt{3} \iff \frac{10}{7}<\sqrt{3} \iff 100<147 $$

となり、明らかに成り立つ。

したがって

$$ \tan\theta<\tan\frac{5\pi}{12} $$

である。しかも三角形 $ABC$ は直角三角形なので $0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ であり、この範囲では $\tan x$ は単調増加であるから

$$ \theta<\frac{5\pi}{12} $$

が従う。

解説

この問題の核心は、三角形 $ACD$ が $3$、$4$、$5$ の直角三角形になっていることにすぐ気づけるかどうかである。

$AD$ は $\angle A$ の二等分線であるから、三角形 $ACD$ の角 $\angle CAD$ はそのまま $\dfrac{\theta}{2}$ になる。したがって、まず半角の三角比を求め、そこから倍角公式で $\sin\theta,\cos\theta,\tan\theta$ を出す流れが最短である。

(2) では角そのものを直接比べるより、$\tan\theta$ と $\tan\dfrac{5\pi}{12}$ を比較する方が計算しやすい。