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東京大学 2010年文系第1問解説

方針・初手

まずは3点 A、B、C の位置関係を明確にする。点 A は座標が $(-3, 0)$ であるから、原点 O を中心とした偏角を考えると $180^\circ$ 方向にある。条件 (i) と (ii)、および「$\triangle\text{ABC}$ は O を含む」という条件から、$\angle\text{AOB}$ と $\angle\text{BOC}$ の配置が確定し、残る $\angle\text{AOC}$ の大きさを $\theta$ で表すことができる。三角形の面積の公式 $S = \frac{1}{2}ab\sin C$ を用いて、$\triangle\text{OAB}$ と $\triangle\text{OAC}$ の面積を $\theta$ の関数として立式し、(1) では方程式を解き、(2) では三角関数の合成を利用して最大値を求める。

解法1

点 A の座標は $(-3, 0)$ であり、$x$ 軸の負の部分にあるため、$x$ 軸の正の向きを始線とした動径 OA の表す角（偏角）は $180^\circ$ となる（角は $0^\circ$ から $360^\circ$ の範囲で考える）。

条件 (i) より、点 B は $y > 0$ であり、$\angle\text{AOB} = 180^\circ - \theta$ である。 $0^\circ < \theta < 120^\circ$ より $60^\circ < 180^\circ - \theta < 180^\circ$ であるから、動径 OB の偏角は $180^\circ - (180^\circ - \theta) = \theta$ である。

条件 (ii) より、点 C について $\angle\text{BOC} = 120^\circ$ であるから、動径 OC の偏角は $\theta + 120^\circ$ または $\theta - 120^\circ$ のいずれかである。

（ア）動径 OC の偏角が $\theta + 120^\circ$ の場合 $0^\circ < \theta < 120^\circ$ より $120^\circ < \theta + 120^\circ < 240^\circ$ となる。このとき、動径は OA ($180^\circ$)、OB ($\theta$)、OC ($\theta + 120^\circ$) の順に反時計回りに並ぶ。 $\triangle\text{ABC}$ が原点 O を含むための条件は、$\angle\text{AOB}$、$\angle\text{BOC}$、$\angle\text{COA}$ がすべて $180^\circ$ 未満となることである。しかし、$\angle\text{COA} = 180^\circ - (\theta + 120^\circ) = 60^\circ - \theta$ となり、 $\angle\text{AOB}$ について、原点 O の周りの残りの角（反時計回り）を考えると、 $360^\circ - \{(60^\circ - \theta) + 120^\circ\} = 180^\circ + \theta > 180^\circ$ となる。これは原点 O が $\triangle\text{ABC}$ の外部または辺上にあることを意味し、条件に反する。

（イ）動径 OC の偏角が $\theta - 120^\circ$ の場合 $0^\circ < \theta < 120^\circ$ より $-120^\circ < \theta - 120^\circ < 0^\circ$ であり、点 C の $y$ 座標は負となるので、$y < 0$ の条件を満たす。このとき、動径は OA ($180^\circ$)、OB ($\theta$)、OC ($\theta - 120^\circ \equiv \theta + 240^\circ$) の順に時計回りに並ぶ。各動径のなす角は以下のようになる。

$$ \angle\text{AOB} = 180^\circ - \theta $$

$$ \angle\text{BOC} = 120^\circ $$

$$ \angle\text{AOC} = 360^\circ - \{(180^\circ - \theta) + 120^\circ\} = \theta + 60^\circ $$

$0^\circ < \theta < 120^\circ$ より $60^\circ < \theta + 60^\circ < 180^\circ$ であり、3つの角はいずれも $180^\circ$ 未満となる。よって原点 O は $\triangle\text{ABC}$ の内部に含まれ、条件を満たす。

以上より、$\angle\text{AOB} = 180^\circ - \theta$、$\angle\text{AOC} = \theta + 60^\circ$ である。

(1)

$\triangle\text{OAB}$ の面積を $S_1$、$\triangle\text{OAC}$ の面積を $S_2$ とする。

$$ \begin{aligned} S_1 &= \frac{1}{2} \cdot \text{OA} \cdot \text{OB} \sin(\angle\text{AOB}) \\ &= \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \sin(180^\circ - \theta) \\ &= 3\sin\theta \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} S_2 &= \frac{1}{2} \cdot \text{OA} \cdot \text{OC} \sin(\angle\text{AOC}) \\ &= \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 \sin(\theta + 60^\circ) \\ &= \frac{3}{2}\sin(\theta + 60^\circ) \end{aligned} $$

$S_1 = S_2$ のとき、以下の等式が成り立つ。

$$ 3\sin\theta = \frac{3}{2}\sin(\theta + 60^\circ) $$

両辺を $\frac{2}{3}$ 倍し、右辺に加法定理を用いると、

$$ \begin{aligned} 2\sin\theta &= \sin\theta\cos 60^\circ + \cos\theta\sin 60^\circ \\ 2\sin\theta &= \frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta \\ \frac{3}{2}\sin\theta &= \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta \\ \sqrt{3}\sin\theta &= \cos\theta \end{aligned} $$

$0^\circ < \theta < 120^\circ$ において $\cos\theta = 0$ となる $\theta = 90^\circ$ は上式を満たさないため、両辺を $\cos\theta$ で割ることができる。

$$ \tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} $$

$0^\circ < \theta < 120^\circ$ の範囲で解くと、$\theta = 30^\circ$ である。

(2)

$\triangle\text{OAB}$ と $\triangle\text{OAC}$ の面積の和を $S$ とおく。

$$ \begin{aligned} S &= S_1 + S_2 \\ &= 3\sin\theta + \frac{3}{2}\sin(\theta + 60^\circ) \\ &= 3\sin\theta + \frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta\right) \\ &= \frac{15}{4}\sin\theta + \frac{3\sqrt{3}}{4}\cos\theta \end{aligned} $$

三角関数の合成を行う。

$$ \begin{aligned} S &= \frac{3}{4} (5\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta) \\ &= \frac{3}{4} \sqrt{5^2 + (\sqrt{3})^2} \sin(\theta + \alpha) \\ &= \frac{3}{4} \sqrt{28} \sin(\theta + \alpha) \\ &= \frac{3\sqrt{7}}{2} \sin(\theta + \alpha) \end{aligned} $$

ここで、$\alpha$ は以下の条件を満たす角である。

$$ \cos\alpha = \frac{5}{2\sqrt{7}}, \quad \sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} $$

$\sin\alpha > 0$, $\cos\alpha > 0$ より $\alpha$ は第1象限の角である。さらに、$\tan\alpha = \frac{\sqrt{3}}{5} < \frac{\sqrt{3}}{3} = \tan 30^\circ$ であるから、$0^\circ < \alpha < 30^\circ$ である。

$\theta$ の範囲は $0^\circ < \theta < 120^\circ$ であるため、$\theta + \alpha$ のとり得る範囲は、

$$ \alpha < \theta + \alpha < 120^\circ + \alpha $$

となる。 $0^\circ < \alpha < 30^\circ$ より $120^\circ < 120^\circ + \alpha < 150^\circ$ であるから、この範囲に $\theta + \alpha = 90^\circ$ が含まれる。

したがって、$S$ は $\theta + \alpha = 90^\circ$ のとき、すなわち $\theta = 90^\circ - \alpha$ のときに最大値 $\frac{3\sqrt{7}}{2}$ をとる。

このときの $\sin\theta$ の値は、以下のようになる。

$$ \begin{aligned} \sin\theta &= \sin(90^\circ - \alpha) \\ &= \cos\alpha \\ &= \frac{5}{2\sqrt{7}} \\ &= \frac{5\sqrt{7}}{14} \end{aligned} $$

解説

図形的な条件から角度を適切に文字式で表し、面積を三角関数で表現する標準的な問題である。最初に関門となるのは、「$\triangle\text{ABC}$ が O を含む」という条件から点 C の位置（$\angle\text{AOC}$ の大きさ）を特定する部分である。図を描いてみることで、点 C の候補が2つあるうちの1つに絞られることが視覚的にも確認できる。 (1) は加法定理を用いて方程式を解く基本問題であり、(2) は $a\sin\theta + b\cos\theta$ の形を導いてから三角関数の合成を行う頻出の処理である。合成角 $\alpha$ の具体的な値は求まらないが、$\cos\alpha$ や $\sin\alpha$ の値から $\alpha$ の範囲を見積もり、$\theta + \alpha = 90^\circ$ をとれるかどうかの確認（定義域のチェック）を怠らないようにしたい。