東北大学 2014年 文系 第3問 解説

方針・初手

ベクトル $\vec{OA}=\mathbf a,\ \vec{OB}=\mathbf b$ とおく。

点 $M,N$ は内分点であるから，

$$ \vec{OM}=\frac23\mathbf a,\qquad \vec{ON}=\frac{t}{t+1}\mathbf b $$

となる。

$P$ は $AN$ と $BM$ の交点なので，$P$ をそれぞれの直線上の点として 2 通りに表し，係数比較を行う。

（2） では，$\vec{OP}$ が角の二等分線上にあることから，

$$ \vec{OP}\parallel \frac{\mathbf a}{|\mathbf a|}+\frac{\mathbf b}{|\mathbf b|} $$

を用いる。さらに $OP\perp BM$ を内積で処理する。

解法1

$\mathbf a=\vec{OA},\ \mathbf b=\vec{OB}$ とおく。

点 $M,N$ はそれぞれ $OA,OB$ の内分点であるから，

$$ \vec{OM}=\frac23\mathbf a,\qquad \vec{ON}=\frac{t}{t+1}\mathbf b $$

である。

（1） $\vec{OP}$ を求める

$P$ は線分 $AN$ 上にあるから，ある実数 $\lambda$ を用いて

$$ \vec{OP} =\vec{OA}+\lambda(\vec{ON}-\vec{OA}) =(1-\lambda)\mathbf a+\lambda\frac{t}{t+1}\mathbf b $$

と表せる。

また，$P$ は線分 $BM$ 上にもあるから，ある実数 $\mu$ を用いて

$$ \vec{OP} =\vec{OB}+\mu(\vec{OM}-\vec{OB}) =\frac{2\mu}{3}\mathbf a+(1-\mu)\mathbf b $$

と表せる。

$\mathbf a,\mathbf b$ の係数を比較すると，

$$ 1-\lambda=\frac{2\mu}{3},\qquad \lambda\frac{t}{t+1}=1-\mu $$

を得る。

第2式から

$$ \mu=1-\lambda\frac{t}{t+1} $$

であるから，これを第1式に代入して

$$ 1-\lambda=\frac23\left(1-\lambda\frac{t}{t+1}\right) $$

すなわち

$$ 3-3\lambda=2-\frac{2t}{t+1}\lambda $$

より

$$ 1=\lambda\left(3-\frac{2t}{t+1}\right) =\lambda\frac{t+3}{t+1} $$

したがって

$$ \lambda=\frac{t+1}{t+3} $$

である。これを

$$ \vec{OP}=(1-\lambda)\mathbf a+\lambda\frac{t}{t+1}\mathbf b $$

に代入すると，

$$ \vec{OP} =\frac{2}{t+3}\mathbf a+\frac{t}{t+3}\mathbf b $$

となる。よって

$$ \vec{OP} =\frac{2}{t+3}\vec{OA}+\frac{t}{t+3}\vec{OB} $$

である。

（2） $|OA|:|OB|$ と $t$ を求める

まず，$\vec{OP}$ は $\angle AOB$ の二等分線上にあるから，

$$ \vec{OP}\parallel \frac{\mathbf a}{|\mathbf a|}+\frac{\mathbf b}{|\mathbf b|} $$

である。

一方，（1） より

$$ \vec{OP}=\frac{2}{t+3}\mathbf a+\frac{t}{t+3}\mathbf b $$

であるから，$\mathbf a,\mathbf b$ の係数比を比べて

$$ \frac{2}{t} =\frac{1/|\mathbf a|}{1/|\mathbf b|} =\frac{|\mathbf b|}{|\mathbf a|} $$

すなわち

$$ |OA|:|OB|=t:2 $$

を得る。

次に，$OP\perp BM$ を用いる。

$\vec{BM}=\vec{OM}-\vec{OB}=\frac23\mathbf a-\mathbf b$ である。また $\vec{OP}$ は

$$ \frac{\mathbf a}{|\mathbf a|}+\frac{\mathbf b}{|\mathbf b|} $$

に平行なので，$BM\perp OP$ から

$$ \left(\frac23\mathbf a-\mathbf b\right)\cdot \left(\frac{\mathbf a}{|\mathbf a|}+\frac{\mathbf b}{|\mathbf b|}\right)=0 $$

が成り立つ。

これを展開すると，

$$ \frac23|\mathbf a| +\frac23\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf b|} -\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf a|} -|\mathbf b|=0 $$

である。ここで $\theta=\angle AOB$ とおくと，

$$ \mathbf a\cdot\mathbf b=|\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta $$

だから，

$$ \frac23|\mathbf a| +\frac23|\mathbf a|\cos\theta -|\mathbf b|\cos\theta -|\mathbf b|=0 $$

すなわち

$$ (1+\cos\theta)\left(\frac23|\mathbf a|-|\mathbf b|\right)=0 $$

を得る。

三角形 $OAB$ は退化していないから $0<\theta<\pi$ であり，したがって

$$ 1+\cos\theta\neq 0 $$

である。よって

$$ \frac23|\mathbf a|-|\mathbf b|=0 $$

すなわち

$$ |OA|:|OB|=3:2 $$

である。

先に得た

$$ |OA|:|OB|=t:2 $$

と比較すると，

$$ t=3 $$

となる。

解説

交点を求める問題では，その点をそれぞれの直線上で 2 通りに表して係数比較するのが基本である。

また，角の二等分線の方向ベクトルは，両辺方向の単位ベクトルの和

$$ \frac{\vec{OA}}{|OA|}+\frac{\vec{OB}}{|OB|} $$

で表せる。（2） はこの事実を使うと，係数比から辺の長さの比が出て，さらに直交条件を内積で処理するだけで決着する。

答え

$$ \vec{OP} =\frac{2}{t+3}\vec{OA}+\frac{t}{t+3}\vec{OB} $$

また，

$$ |OA|:|OB|=3:2,\qquad t=3 $$