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東北大学 2017年理系第4問解説

方針・初手

点 $A$ を始点とするベクトルで処理する。 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ を基底として、内分点 $D,E$ を表し、直線 $AE$ と直線 $CD$ の交点 $F$ を連立して求める。

（2）では、$\overrightarrow{AF}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}$ において、$\beta\overrightarrow{AC}$ は辺 $AC$ に平行であるから、$F$ から $AC$ への距離は $\alpha$ に比例することを用いる。

解法1

点 $A$ を原点とし、

$$ \overrightarrow{AB}=\mathbf{b},\qquad \overrightarrow{AC}=\mathbf{c} $$

とおく。

すると、$D$ は $AB$ を $s:1$ に内分するから

$$ \overrightarrow{AD}=\frac{s}{s+1}\mathbf{b} $$

である。

また、$E$ は $BC$ を $s:3$ に内分するから

$$ \overrightarrow{AE} =\frac{3}{s+3}\mathbf{b}+\frac{s}{s+3}\mathbf{c} $$

となる。

(1)

$\alpha,\beta$ を求める

$F$ は直線 $AE$ 上にあるので、ある実数 $k$ を用いて

$$ \overrightarrow{AF} =k\overrightarrow{AE} =\frac{3k}{s+3}\mathbf{b}+\frac{sk}{s+3}\mathbf{c} $$

と表せる。

一方、$F$ は直線 $CD$ 上にもあるので、ある実数 $l$ を用いて

$$ \overrightarrow{AF} =l\overrightarrow{AD}+(1-l)\overrightarrow{AC} =\frac{ls}{s+1}\mathbf{b}+(1-l)\mathbf{c} $$

と表せる。

よって、$\mathbf{b},\mathbf{c}$ の係数を比較して

$$ \frac{3k}{s+3}=\frac{ls}{s+1},\qquad \frac{sk}{s+3}=1-l $$

を得る。

第1式から

$$ l=\frac{3k(s+1)}{s(s+3)} $$

である。これを第2式に代入すると

$$ \frac{sk}{s+3} =1-\frac{3k(s+1)}{s(s+3)} $$

すなわち

$$ \frac{s^2k}{s+3}+\frac{3k(s+1)}{s+3}=s $$

となるから、

$$ k{s^2+3s+3}=s(s+3) $$

より

$$ k=\frac{s(s+3)}{s^2+3s+3} $$

である。

したがって

$$ \overrightarrow{AF} =\frac{3k}{s+3}\mathbf{b}+\frac{sk}{s+3}\mathbf{c} =\frac{3s}{s^2+3s+3}\mathbf{b}+\frac{s^2}{s^2+3s+3}\mathbf{c} $$

となるので、

$$ \alpha=\frac{3s}{s^2+3s+3},\qquad \beta=\frac{s^2}{s^2+3s+3} $$

である。

(2)

$FG$ が最大となるときの $s$ を求める

$B$ から辺 $AC$ に下ろした垂線の長さを $h$ とする。 $\overrightarrow{AF}=\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}$ において、$\beta\overrightarrow{AC}$ は辺 $AC$ に平行であるから、$F$ の $AC$ への垂直方向成分は $\alpha\overrightarrow{AB}$ のみで決まる。

したがって、

$$ FG=\alpha h $$

である。

（1）より

$$ FG=\frac{3s}{s^2+3s+3}h $$

となる。ここで $h$ は三角形 $ABC$ によって定まる定数であるから、$FG$ を最大にするには

$$ f(s)=\frac{3s}{s^2+3s+3} $$

を最大にすればよい。

これを変形すると

$$ f(s)=\frac{3}{s+3+\frac{3}{s}} $$

である。$s>0$ より、相加相乗平均を用いて

$$ s+\frac{3}{s}\ge 2\sqrt{3} $$

が成り立つ。等号成立は

$$ s=\sqrt{3} $$

のときである。

よって、分母 $s+3+\dfrac{3}{s}$ は $s=\sqrt{3}$ で最小となり、したがって $FG$ はそのとき最大となる。

解説

この問題の本質は、交点 $F$ をベクトルで正確に表すことにある。 $A$ を原点に取ると、内分点 $D,E$ がすぐに書け、$F\in AE$ と $F\in CD$ を係数比較するだけで $\alpha,\beta$ が求まる。

（2）では、$\beta\overrightarrow{AC}$ が距離に影響しないことを見抜けるかが重要である。距離に効くのは $\overrightarrow{AB}$ のうち $AC$ に垂直な成分だけであり、その倍率が $\alpha$ であるから、結局 $\alpha$ の最大化に帰着する。