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北海道大学 2014年文系第3問解説

方針・初手

点 $O$ は直角三角形の斜辺 $BC$ の中点であることから、$\overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OC}$ が成り立つことに着目する。(2) では、点 $X$ が直線 $AD$ 上にある条件から実数パラメータを用いて $\overrightarrow{OX}$ を表し、点 $X$ が外接円上にある条件からパラメータの値を決定する。外接円の中心が $O$ であるため、$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}| = |\overrightarrow{OX}|$ が成り立つこと、および $\triangle ABC$ が直角二等辺三角形であることから $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = 0$ となることを利用する。

解法1

(1)

$\triangle ABC$ は $\angle A = 90^\circ$ の直角二等辺三角形であり、$O$ はその外接円の中心である。直角三角形の外接円の中心は斜辺の中点に一致するため、$O$ は線分 $BC$ の中点である。したがって、

$$ \overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OC} $$

が成り立つ。点 $D$ は線分 $BC$ を $(p+1):p$ に外分する点であるから、位置ベクトルの公式より、

$$ \overrightarrow{OD} = \frac{-p\overrightarrow{OB} + (p+1)\overrightarrow{OC}}{(p+1) - p} $$

分母は $1$ であり、$\overrightarrow{OB} = -\overrightarrow{OC}$ を代入すると、

$$ \overrightarrow{OD} = -p(-\overrightarrow{OC}) + (p+1)\overrightarrow{OC} $$

$$ \overrightarrow{OD} = (2p+1)\overrightarrow{OC} $$

となる。

(2)

点 $X$ は直線 $AD$ 上の点であるから、実数 $t$ を用いて

$$ \overrightarrow{OX} = (1-t)\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OD} $$

と表せる。(1) の結果を用いると、

$$ \overrightarrow{OX} = (1-t)\overrightarrow{OA} + t(2p+1)\overrightarrow{OC} $$

となる。ここで、$O$ は外接円の中心であるから、円の半径を $R$ とすると、

$$ |\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OC}| = |\overrightarrow{OX}| = R $$

が成り立つ。さらに、$\triangle ABC$ は直角二等辺三角形であり、$O$ は斜辺 $BC$ の中点であるため、直線 $OA$ は辺 $BC$ の垂直二等分線となる。よって $\overrightarrow{OA} \perp \overrightarrow{OC}$ であり、

$$ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = 0 $$

である。

点 $X$ は外接円上の点であるから $|\overrightarrow{OX}|^2 = R^2$ であり、$R^2 = |\overrightarrow{OA}|^2$ より $|\overrightarrow{OX}|^2 = |\overrightarrow{OA}|^2$ が成り立つ。この両辺を計算する。

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{OX}|^2 &= |(1-t)\overrightarrow{OA} + t(2p+1)\overrightarrow{OC}|^2 \\ &= (1-t)^2|\overrightarrow{OA}|^2 + 2t(1-t)(2p+1)(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC}) + t^2(2p+1)^2|\overrightarrow{OC}|^2 \end{aligned} $$

$|\overrightarrow{OC}|^2 = |\overrightarrow{OA}|^2$ および $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = 0$ を代入すると、

$$ |\overrightarrow{OX}|^2 = \{(1-t)^2 + t^2(2p+1)^2\}|\overrightarrow{OA}|^2 $$

となる。したがって、

$$ \{(1-t)^2 + t^2(2p+1)^2\}|\overrightarrow{OA}|^2 = |\overrightarrow{OA}|^2 $$

$|\overrightarrow{OA}| \neq 0$ であるから、両辺を $|\overrightarrow{OA}|^2$ で割って、

$$ (1-t)^2 + t^2(2p+1)^2 = 1 $$

この $t$ についての2次方程式を整理する。

$$ 1 - 2t + t^2 + t^2(4p^2 + 4p + 1) = 1 $$

$$ t^2(4p^2 + 4p + 2) - 2t = 0 $$

$$ 2t \{t(2p^2 + 2p + 1) - 1\} = 0 $$

点 $X$ は $A$ と異なる点であるから $t \neq 0$ である。よって、

$$ t(2p^2 + 2p + 1) - 1 = 0 $$

$p$ は実数であるから $2p^2 + 2p + 1 = 2\left(p + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} > 0$ であり、

$$ t = \frac{1}{2p^2 + 2p + 1} $$

となる。これを $\overrightarrow{OX}$ の式に代入するため、$1-t$ を計算すると、

$$ 1 - t = 1 - \frac{1}{2p^2 + 2p + 1} = \frac{2p^2 + 2p}{2p^2 + 2p + 1} = \frac{2p(p+1)}{2p^2 + 2p + 1} $$

以上より、

$$ \overrightarrow{OX} = \frac{2p(p+1)}{2p^2+2p+1}\overrightarrow{OA} + \frac{2p+1}{2p^2+2p+1}\overrightarrow{OC} $$

と求まる。

解説

平面ベクトルにおいて、円周上の点に関する条件をベクトル方程式で処理する典型問題である。直角三角形の斜辺の中点が外接円の中心となるという初等幾何の基本性質を正しくベクトルに翻訳できるかがポイントとなる。

(2) では、「点 $X$ が直線 $AD$ 上にある」という共線条件を実数パラメータを用いて表し、「点 $X$ が円周上にある」という距離の条件をベクトルの大きさの2乗として処理する。内積 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = 0$ に気付けると計算が大幅に簡略化される。直角二等辺三角形の対称性を意識するとよい。