東北大学 2014年 文系 第4問 解説

方針・初手

まず (A^2+B^2) を計算すると、(\sin x\sin y+\cos x\cos y=\cos(x-y)) が現れる。

（2） では (A=1) を代入して、(B) にどのような制約がかかるかを調べる。極値は (\cos(x-y)) の範囲から直ちに絞れる。

解法1

まず

$$ A=2\sin x+\sin y,\qquad B=2\cos x+\cos y $$

であるから、

$$ \begin{aligned} A^2+B^2 &=(2\sin x+\sin y)^2+(2\cos x+\cos y)^2\\ &=4\sin^2x+4\sin x\sin y+\sin^2y+4\cos^2x+4\cos x\cos y+\cos^2y\\ &=4(\sin^2x+\cos^2x)+(\sin^2y+\cos^2y)+4(\sin x\sin y+\cos x\cos y)\\ &=4+1+4\cos(x-y)\\ &=5+4\cos(x-y). \end{aligned} $$

したがって、

$$ \cos(x-y)=\frac{A^2+B^2-5}{4} $$

となる。これが （1） の答えである。

次に （2） を考える。条件 (A=1) より

$$ 1+B^2=A^2+B^2=5+4\cos(x-y) $$

であるから、

$$ B^2=4+4\cos(x-y) $$

を得る。

ここで

$$ -1\leqq \cos(x-y)\leqq 1 $$

であるから、

$$ 0\leqq B^2\leqq 8 $$

となる。よって

$$ -2\sqrt{2}\leqq B\leqq 2\sqrt{2} $$

である。

あとはこの両端が実際に実現できるかを確認すればよい。

(B=2\sqrt{2}) をとるときは (B^2=8) であるから、

$$ 4+4\cos(x-y)=8 $$

すなわち

$$ \cos(x-y)=1 $$

となる。したがって

$$ x-y=2k\pi \qquad (k\in\mathbb{Z}) $$

であり、

$$ \sin y=\sin x,\qquad \cos y=\cos x $$

である。これを (A=1) に代入すると

$$ 2\sin x+\sin y=3\sin x=1 $$

より

$$ \sin x=\frac{1}{3} $$

となる。したがって

$$ \cos x=\pm\sqrt{1-\left(\frac13\right)^2} =\pm\frac{2\sqrt2}{3}. $$

このとき

$$ B=2\cos x+\cos y=3\cos x $$

であるから、(B=2\sqrt2) をとるためには

$$ \cos x=\frac{2\sqrt2}{3} $$

でなければならない。

同様に、(B=-2\sqrt2) をとるときは

$$ \sin x=\frac13,\qquad \cos x=-\frac{2\sqrt2}{3} $$

である。

以上より、

$$ \max B=2\sqrt2,\qquad \min B=-2\sqrt2 $$

であり、そのときの (\sin x,\cos x) はそれぞれ

$$ \sin x=\frac13,\qquad \cos x=\frac{2\sqrt2}{3} $$

および

$$ \sin x=\frac13,\qquad \cos x=-\frac{2\sqrt2}{3} $$

である。

解説

この問題は、(A) と (B) を個別に処理しようとすると見通しが悪い。(A^2+B^2) を作ることで (\cos(x-y)) が現れ、2変数の問題が一気に整理されるのが本質である。

（2） でも、(A=1) のもとで (B^2) を (\cos(x-y)) で表せば、(\cos(x-y)) の範囲 ([-1,1]) から (B) の範囲がただちに決まる。さらに極値を与える条件は等号成立条件 (\cos(x-y)=1) を追えばよい。

答え

$$ \cos(x-y)=\frac{A^2+B^2-5}{4} $$

また、(A=1) のもとで

$$ \max B=2\sqrt2,\qquad \min B=-2\sqrt2 $$

である。

最大値 (2\sqrt2) をとるとき

$$ \sin x=\frac13,\qquad \cos x=\frac{2\sqrt2}{3} $$

最小値 (-2\sqrt2) をとるとき

$$ \sin x=\frac13,\qquad \cos x=-\frac{2\sqrt2}{3} $$