東京大学 1984年 理系 第4問 解説

方針・初手

• 立体の体積を求めるため、$z$ 軸に垂直な平面 $z=t$ で板 $S$ を切断し、その断面を $z$ 軸のまわりに回転させてできる図形（円環）の面積を求める。
• 板 $S$ 上の点を位置ベクトルを用いてパラメータ表示し、$z=t$ とおいたときの断面の形状と位置を特定する。
• 最後に、得られた断面積を $z$ 方向に積分して体積を求める。

解法1

板 $S$ は3点 $P, Q, R$ を頂点とする正三角形の周および内部である。 板 $S$ 上の任意の点 $(x, y, z)$ は、実数 $\alpha, \beta, \gamma$ を用いて以下のように表される。

$$ (x, y, z) = \alpha \left(1, \frac{1}{2}, 0\right) + \beta \left(1, -\frac{1}{2}, 0\right) + \gamma \left(\frac{1}{4}, 0, \frac{\sqrt{3}}{4}\right) $$

$$ \alpha + \beta + \gamma = 1, \quad \alpha \geqq 0, \quad \beta \geqq 0, \quad \gamma \geqq 0 $$

成分ごとに比較すると、

$$ \begin{cases} x = \alpha + \beta + \frac{1}{4}\gamma \\ y = \frac{1}{2}\alpha - \frac{1}{2}\beta \\ z = \frac{\sqrt{3}}{4}\gamma \end{cases} $$

板 $S$ の $z$ 座標の取り得る範囲は、$0 \leqq z \leqq \frac{\sqrt{3}}{4}$ である。 平面 $z=t$ $\left(0 \leqq t \leqq \frac{\sqrt{3}}{4}\right)$ による板 $S$ の切り口を考える。 $z = t$ とすると、

$$ \frac{\sqrt{3}}{4}\gamma = t \quad \Longleftrightarrow \quad \gamma = \frac{4}{\sqrt{3}}t $$

これを $\alpha + \beta + \gamma = 1$ に代入すると、

$$ \alpha + \beta = 1 - \frac{4}{\sqrt{3}}t $$

このとき、$x$ 座標は次のように定まる。

$$ x = \left(\alpha + \beta\right) + \frac{1}{4}\gamma = \left(1 - \frac{4}{\sqrt{3}}t\right) + \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}}t = 1 - \frac{3}{\sqrt{3}}t = 1 - \sqrt{3}t $$

また、$y$ 座標は $y = \frac{1}{2}(\alpha - \beta)$ であり、$\alpha \geqq 0, \beta \geqq 0$ かつ $\alpha + \beta = 1 - \frac{4}{\sqrt{3}}t$ であるから、$\alpha - \beta$ の取り得る範囲は、

$$ -\left(1 - \frac{4}{\sqrt{3}}t\right) \leqq \alpha - \beta \leqq 1 - \frac{4}{\sqrt{3}}t $$

したがって、$y$ の範囲は以下のようになる。

$$ -\left(\frac{1}{2} - \frac{2}{\sqrt{3}}t\right) \leqq y \leqq \frac{1}{2} - \frac{2}{\sqrt{3}}t $$

以上より、平面 $z=t$ による板 $S$ の断面は、点 $(1 - \sqrt{3}t, 0, t)$ を中点とし、$y$ 軸に平行な長さ $1 - \frac{4}{\sqrt{3}}t$ の線分である。

次に、この線分を $z$ 軸のまわりに1回転させてできる図形の面積 $S(t)$ を求める。 $0 \leqq t \leqq \frac{\sqrt{3}}{4}$ において、$x = 1 - \sqrt{3}t$ は常に正（最小値は $t = \frac{\sqrt{3}}{4}$ のときの $\frac{1}{4}$）であるから、線分上の点 $(x, y, t)$ と $z$ 軸との距離 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ の最大値 $r_{\text{max}}$ と最小値 $r_{\text{min}}$ は次のようになる。

$$ \begin{aligned} r_{\text{max}}^2 &= (1 - \sqrt{3}t)^2 + \left(\frac{1}{2} - \frac{2}{\sqrt{3}}t\right)^2 \\ r_{\text{min}}^2 &= (1 - \sqrt{3}t)^2 + 0^2 = (1 - \sqrt{3}t)^2 \end{aligned} $$

したがって、断面の面積 $S(t)$ は、

$$ S(t) = \pi (r_{\text{max}}^2 - r_{\text{min}}^2) = \pi \left(\frac{1}{2} - \frac{2}{\sqrt{3}}t\right)^2 $$

求める立体の体積 $V$ は、$S(t)$ を $t=0$ から $t=\frac{\sqrt{3}}{4}$ まで積分して得られる。

$$ \begin{aligned} V &= \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{4}} S(t) \, dt \\ &= \pi \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{4}} \left(\frac{1}{2} - \frac{2}{\sqrt{3}}t\right)^2 \, dt \end{aligned} $$

ここで一次式の合成関数の積分公式を用いて直接計算する。

$$ \begin{aligned} V &= \pi \left[ \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \frac{1}{3} \left(\frac{1}{2} - \frac{2}{\sqrt{3}}t\right)^3 \right]_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{4}} \\ &= -\frac{\sqrt{3}}{6}\pi \left( 0^3 - \left(\frac{1}{2}\right)^3 \right) \\ &= -\frac{\sqrt{3}}{6}\pi \left( -\frac{1}{8} \right) \\ &= \frac{\sqrt{3}}{48}\pi \end{aligned} $$

解説

• 空間図形の回転体の体積を求める典型問題である。「回転させてから切る」のではなく、「切ってから回転させる」という原則に従い、$z=t$ での断面の形状を先に捉えることが重要である。
• 今回は三角形の内部も含む「板」の回転であるため、領域を不等式やパラメータで正確に表現する必要がある。ベクトルの凸結合による表現を用いると、連立方程式を解く感覚で $x, y$ の関係式を機械的に導出できるため安全である。
• 計算過程で $x$ 座標（線分と $z$ 軸との距離の最小値を決める成分）が相殺されるため、最終的な積分は非常にシンプルになる。ドーナツ状の断面積を求める際、$r_{\text{max}}^2 - r_{\text{min}}^2$ の計算で共通部分が消えるという性質はよく現れる。

答え

$$ \frac{\sqrt{3}}{48}\pi $$