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東京大学 1985年理系第6問解説

方針・初手

立体 $K$ を座標軸に垂直な平面で切断し、その切り口の面積を積分することで体積を求める。点 $P$ を中心とする半径 $1$ の球を平面 $z=t$ で切断すると、その切り口は中心が $P$ の正射影、半径が $\sqrt{1-t^2}$ の円になる。したがって、$K$ を平面 $z=t$ で切断した図形は、$\triangle ABC$ の周から距離 $\sqrt{1-t^2}$ 以下にある点の集合となる。図形の内側に「穴」が空くかどうかを、$\triangle ABC$ の内接円の半径と切り口の円の半径を比較して確認することがポイントである。

解法1

(1)

まず $\triangle ABC$ の各辺の長さ、周長、面積、内接円の半径を求める。

$$ \begin{aligned} AB &= \sqrt{8^2 + 0^2 + 0^2} = 8 \\ BC &= \sqrt{(8-6)^2 + (0-2\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 12} = 4 \\ CA &= \sqrt{6^2 + (2\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{36 + 12} = 4\sqrt{3} \end{aligned} $$

$AB^2 = BC^2 + CA^2$ が成り立つため、$\triangle ABC$ は $\angle C = 90^\circ$ の直角三角形である。 $\triangle ABC$ の周長 $L$ は、

$$ L = 8 + 4 + 4\sqrt{3} = 12 + 4\sqrt{3} $$

$\triangle ABC$ の面積 $S$ は、

$$ S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} $$

$\triangle ABC$ の内接円の半径を $r$ とすると、$S = \frac{1}{2}Lr$ より、

$$ r = \frac{2S}{L} = \frac{16\sqrt{3}}{12 + 4\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}(3 - \sqrt{3})}{9 - 3} = 2\sqrt{3} - 2 $$

ここで $r = \sqrt{12} - 2 > 3 - 2 = 1$ であるため、内接円の半径は $1$ より大きい。

立体 $K$ を平面 $z=0$ で切った切り口の領域 $D_0$ は、$\triangle ABC$ の周上からの距離が $1$ 以下の点の集合である。 $r > 1$ であるから、領域 $D_0$ の内側には穴が存在し、$D_0$ の面積 $S(0)$ は、$\triangle ABC$ の外側に広がる領域の面積 $S_{out}(0)$ から、内側の穴の領域の面積 $S_{in}(0)$ を引いたものとして求められる。

外側の面積 $S_{out}(0)$ は、$\triangle ABC$ の面積と、各辺を底辺とする高さ $1$ の $3$ つの長方形、および各頂点を中心とする半径 $1$ の $3$ つの扇形（中心角の和は $360^\circ$ すなわち $1$ つの円になる）の面積の和である。

$$ S_{out}(0) = S + L \cdot 1 + \pi \cdot 1^2 = 8\sqrt{3} + 12 + 4\sqrt{3} + \pi = 12 + 12\sqrt{3} + \pi $$

内側の穴の領域は、$\triangle ABC$ の各辺から内側へ距離 $1$ だけ平行移動した線分で囲まれる三角形（$\triangle A'B'C'$ とする）である。 $\triangle A'B'C'$ は $\triangle ABC$ と相似であり、その内接円の半径は $r - 1$ である。相似比は $\frac{r-1}{r}$ となるため、面積 $S_{in}(0)$ は、

$$ S_{in}(0) = \left( \frac{r-1}{r} \right)^2 S $$

ここで、相似比を計算する。

$$ \frac{r-1}{r} = 1 - \frac{1}{2\sqrt{3}-2} = 1 - \frac{2\sqrt{3}+2}{12-4} = 1 - \frac{\sqrt{3}+1}{4} = \frac{3-\sqrt{3}}{4} $$

よって、$S_{in}(0)$ は、

$$ S_{in}(0) = \left( \frac{3-\sqrt{3}}{4} \right)^2 \cdot 8\sqrt{3} = \frac{9 - 6\sqrt{3} + 3}{16} \cdot 8\sqrt{3} = \frac{12 - 6\sqrt{3}}{2} \sqrt{3} = 6\sqrt{3} - 9 $$

ゆえに、求める切り口の面積 $S(0)$ は、

$$ S(0) = S_{out}(0) - S_{in}(0) = (12 + 12\sqrt{3} + \pi) - (6\sqrt{3} - 9) = 21 + 6\sqrt{3} + \pi $$

(2)

立体 $K$ を平面 $z=t \ (-1 \le t \le 1)$ で切断したときの切り口の領域 $D_t$ の面積 $S(t)$ を求める。点 $P(x,y,0)$ を中心とする半径 $1$ の球の方程式は $(X-x)^2 + (Y-y)^2 + Z^2 \le 1$ であり、これを $Z=t$ で切ると $(X-x)^2 + (Y-y)^2 \le 1 - t^2$ となる。これは中心 $(x,y,t)$、半径 $r_t = \sqrt{1-t^2}$ の円である。したがって $D_t$ は、$\triangle ABC$ の周上からの距離が $r_t$ 以下の点の集合となる。 $-1 \le t \le 1$ の範囲で常に $r_t \le 1 < r$ が成り立つため、任意の $t$ において内側に穴が存在する。

(1) と同様に、$D_t$ の面積 $S(t)$ は $S_{out}(t) - S_{in}(t)$ で計算できる。

$$ S_{out}(t) = S + L r_t + \pi r_t^2 $$

$$ S_{in}(t) = \left( \frac{r - r_t}{r} \right)^2 S = S - 2\frac{S}{r}r_t + \frac{S}{r^2}r_t^2 $$

ここで $S = \frac{1}{2}Lr$ より $\frac{S}{r} = \frac{L}{2}$ であるから、

$$ S_{in}(t) = S - L r_t + \frac{S}{r^2} r_t^2 $$

よって、$S(t)$ は以下のように表される。

$$ S(t) = S_{out}(t) - S_{in}(t) = 2L r_t + \left( \pi - \frac{S}{r^2} \right) r_t^2 $$

具体的な値を代入する。 $2L = 24 + 8\sqrt{3}$ であり、$\frac{S}{r^2}$ は次のように計算できる。

$$ \frac{S}{r^2} = \frac{8\sqrt{3}}{(2\sqrt{3}-2)^2} = \frac{8\sqrt{3}}{16 - 8\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = 2\sqrt{3} + 3 $$

したがって、$r_t = \sqrt{1-t^2}$、$r_t^2 = 1-t^2$ を用いて、$S(t)$ を $t$ の式で表す。

$$ S(t) = (24 + 8\sqrt{3}) \sqrt{1-t^2} + (\pi - 2\sqrt{3} - 3) (1-t^2) $$

立体 $K$ の体積 $V$ は、$S(t)$ を $-1 \le t \le 1$ で積分して求められる。

$$ V = \int_{-1}^{1} S(t) dt = (24 + 8\sqrt{3}) \int_{-1}^{1} \sqrt{1-t^2} dt + (\pi - 2\sqrt{3} - 3) \int_{-1}^{1} (1-t^2) dt $$

ここで、積分計算は以下の通りである。

$$ \int_{-1}^{1} \sqrt{1-t^2} dt = \frac{\pi}{2} \quad \text{（半径1の半円の面積）} $$

$$ \int_{-1}^{1} (1-t^2) dt = \left[ t - \frac{t^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \frac{4}{3} $$

これらを代入して体積 $V$ を求める。

$$ V = (24 + 8\sqrt{3}) \cdot \frac{\pi}{2} + (\pi - 2\sqrt{3} - 3) \cdot \frac{4}{3} $$

$$ V = (12 + 4\sqrt{3})\pi + \frac{4}{3}\pi - \frac{8\sqrt{3}}{3} - 4 = \left( \frac{40}{3} + 4\sqrt{3} \right)\pi - \frac{8\sqrt{3}}{3} - 4 $$

解説

球の通過領域に関する標準的な体積問題である。球や円の通過領域を考える際は、「動く点を中心とする図形」をそのまま扱うのではなく、切断面を設定して「断面における通過領域」に帰着させるのが定石である。本問で最も注意すべきは、「領域の内側に穴が空くかどうか」の判定である。外側の輪郭はイメージしやすいが、内側については $\triangle ABC$ の内接円の半径 $r$ と切り口の円の半径 $\sqrt{1-t^2}$ の大小関係によって形状が変化する。本問では常に穴が空き続けるため、場合分けは発生しない。また、内側の面積 $S_{in}(t)$ を求める際に図形的な相似比を用いると、$S$ や $L$ の関係式から多くの項が相殺され、積分計算が非常に簡潔になる。