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東京大学 1983年理系第6問解説

方針・初手

空間座標 $(x, y, z)$ を導入し、曲面 $K$ および平面 $H$ を方程式で表すことから始める。

与えられた放物線は $xy$ 平面上の曲線とみなすことができ、これを $y$ 軸のまわりに回転させて得られる曲面 $K$ の方程式を立てる。また、回転体の対称性から、立体の体積は平面 $H$ を $y$ 軸のまわりに回転させても不変である。したがって、計算が最も容易になるように平面 $H$ の向きを固定する。

立体の不等式条件を求めた後は、座標軸に垂直な平面で切断して断面積を求め、それを積分して体積を算出する。

解法1

空間座標において、放物線 $y = \frac{3}{4} - x^2$ を $y$ 軸のまわりに回転して得られる曲面 $K$ の方程式は、$x^2$ を $x^2 + z^2$ に置き換えることで次のように表される。

$$ y = \frac{3}{4} - (x^2 + z^2) $$

原点を通り回転軸（$y$ 軸）と $45^\circ$ の角をなす平面 $H$ について考える。立体の対称性から、平面 $H$ が $z$ 軸に平行（$xy$ 平面に垂直）であるとして一般性を失わない。このとき、平面 $H$ の方程式は $y = x$ （または $y = -x$）とおくことができる。ここでは $y = x$ を採用する。

求める立体の体積 $V$ は、曲面 $K$ と平面 $H$ で囲まれた領域であり、次の不等式で表される。

$$ x \le y \le \frac{3}{4} - x^2 - z^2 $$

この立体を $z$ 軸に垂直な平面 $z = t$ で切断する。切断面に図形が存在するための $t$ の条件は後ほど確認するとして、断面は $xy$ 平面と平行な平面上の次の領域となる。

$$ x \le y \le \frac{3}{4} - x^2 - t^2 $$

これは、直線 $y = x$ と上に凸の放物線 $y = -x^2 + \frac{3}{4} - t^2$ で囲まれた部分である。これら2つの曲線の交点の $x$ 座標は、方程式 $-x^2 + \frac{3}{4} - t^2 = x$ の解である。整理すると以下の2次方程式を得る。

$$ x^2 + x + t^2 - \frac{3}{4} = 0 $$

この2次方程式が異なる2つの実数解をもつ条件は、判別式を $D$ とすると $D > 0$ である。

$$ D = 1^2 - 4\left(t^2 - \frac{3}{4}\right) = 4 - 4t^2 > 0 $$

これより、立体が存在する $t$ の範囲は $-1 \le t \le 1$ である。このとき、2つの解を $\alpha, \beta$ （$\alpha < \beta$）とおくと、解の公式よりその差は次のようになる。

$$ \beta - \alpha = \frac{-1 + \sqrt{4 - 4t^2}}{2} - \frac{-1 - \sqrt{4 - 4t^2}}{2} = \sqrt{4 - 4t^2} = 2\sqrt{1 - t^2} $$

$z = t$ における断面積 $S(t)$ は、$\frac{1}{6}$ 公式を用いて次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} S(t) &= \int_{\alpha}^{\beta} \left\{ \left( -x^2 + \frac{3}{4} - t^2 \right) - x \right\} dx \\ &= -\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta) dx \\ &= \frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3 \\ &= \frac{1}{6} \left( 2\sqrt{1 - t^2} \right)^3 \\ &= \frac{4}{3} (1 - t^2)^{\frac{3}{2}} \end{aligned} $$

求める体積 $V$ は、この断面積 $S(t)$ を $-1 \le t \le 1$ の範囲で積分したものである。関数が偶関数であることを利用する。

$$ V = \int_{-1}^{1} S(t) dt = 2 \int_{0}^{1} \frac{4}{3} (1 - t^2)^{\frac{3}{2}} dt = \frac{8}{3} \int_{0}^{1} (1 - t^2)^{\frac{3}{2}} dt $$

ここで、$t = \sin\theta$ と置換積分する。$dt = \cos\theta d\theta$ であり、積分区間は $t: 0 \to 1$ のとき $\theta: 0 \to \frac{\pi}{2}$ となる。

$$ \begin{aligned} V &= \frac{8}{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin^2\theta)^{\frac{3}{2}} \cos\theta d\theta \\ &= \frac{8}{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3\theta \cdot \cos\theta d\theta \\ &= \frac{8}{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^4\theta d\theta \end{aligned} $$

ウォリスの公式（または半角の公式の繰り返し）を用いて定積分を計算する。

$$ V = \frac{8}{3} \times \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} $$

解法2

立体の不等式条件 $x \le y \le \frac{3}{4} - x^2 - z^2$ を導くまでの手順は解法1と同様である。ここでは切断する方向を変え、立体を $x$ 軸に垂直な平面 $x = s$ で切断する。

断面は $yz$ 平面と平行な平面上の次の領域となる。

$$ s \le y \le \frac{3}{4} - s^2 - z^2 $$

これは $z$ 軸について対称な上に凸の放物線と、直線 $y = s$ に囲まれた領域である。この領域が存在するためには、放物線の頂点の $y$ 座標が $s$ 以上であればよい。

$$ \frac{3}{4} - s^2 \ge s $$

整理すると $s^2 + s - \frac{3}{4} \le 0$ となり、$\left(s + \frac{1}{2}\right)^2 \le 1$ より、立体が存在する $s$ の範囲は $-\frac{3}{2} \le s \le \frac{1}{2}$ である。

直線 $y = s$ と放物線 $y = \frac{3}{4} - s^2 - z^2$ の交点の $z$ 座標は、これらを連立して得られる方程式 $z^2 = \frac{3}{4} - s - s^2$ の解である。これを $\pm \gamma$ （$\gamma = \sqrt{\frac{3}{4} - s - s^2} > 0$）とおく。

$x = s$ における断面積 $S(s)$ は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} S(s) &= \int_{-\gamma}^{\gamma} \left\{ \left( \frac{3}{4} - s^2 - z^2 \right) - s \right\} dz \\ &= \int_{-\gamma}^{\gamma} (\gamma^2 - z^2) dz \\ &= \frac{4}{3}\gamma^3 \\ &= \frac{4}{3} \left( \frac{3}{4} - s - s^2 \right)^{\frac{3}{2}} \\ &= \frac{4}{3} \left\{ 1 - \left( s + \frac{1}{2} \right)^2 \right\}^{\frac{3}{2}} \end{aligned} $$

求める体積 $V$ はこれを積分して得られる。

$$ V = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{4}{3} \left\{ 1 - \left( s + \frac{1}{2} \right)^2 \right\}^{\frac{3}{2}} ds $$

ここで、$u = s + \frac{1}{2}$ と置換する。$du = ds$ であり、積分区間は $s: -\frac{3}{2} \to \frac{1}{2}$ のとき $u: -1 \to 1$ となる。

$$ V = \frac{4}{3} \int_{-1}^{1} (1 - u^2)^{\frac{3}{2}} du = \frac{8}{3} \int_{0}^{1} (1 - u^2)^{\frac{3}{2}} du $$

この定積分は解法1に現れたものと全く同じ形であり、同様に三角関数に置換することで $V = \frac{\pi}{2}$ を得る。

解説

空間図形の体積計算において、「適切な空間座標の設定」と「計算が容易になる切断面の選択」ができるかを問う問題である。

回転体の曲面の方程式は、$y$ 軸まわりの回転であれば $x$ を $\pm \sqrt{x^2 + z^2}$ に置き換えることで容易に立式できる。また、平面 $H$ については、立体の対称性を活用し、方程式が最もシンプルになる $y = x$ を意図的に設定することが大きなポイントとなる。

立式後の切断方向については、$z$ 軸に垂直な平面で切る（解法1）のが標準的である。断面が直線と放物線で囲まれた図形となり、数学IIで頻出の面積公式がそのまま活用できるため、計算ミスを防ぎやすい。$x$ 軸に垂直な平面で切る（解法2）方針でも、積分変数が異なるだけで全く同型の式に帰着する。いずれのアプローチにおいても、最終的な積分計算で三角関数への置換と偶関数の性質を正しく適用する処理能力が求められる。