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東京大学 2024年理系第5問解説

方針・初手

回転体の体積なので、回転軸である $x$ 軸に垂直な平面 $x = \text{一定}$ で切って断面積を求める。各断面は円環になるので、その外半径と内半径を $x$ の式で表して積分する。

解法1

3点

$$ A(1, 0, 0), \quad B(0, 1, 0), \quad D \left( \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2} \right) $$

は平面

$$ x + y + z = 1 $$

上にある。したがって、三角形 $ABD$ を平面 $x = \text{一定}$ で切った断面は、$yz$ 平面内の線分になる。

まず各辺を調べる。

辺 $AB$ 上では

$$ y = 1 - x, \quad z = 0 \qquad (0 \leqq x \leqq 1) $$

辺 $AD$ 上では

$$ y = 0, \quad z = 1 - x \qquad \left( \frac{1}{2} \leqq x \leqq 1 \right) $$

辺 $BD$ 上では

$$ (x, y, z) = \left( \frac{t}{2}, 1 - t, \frac{t}{2} \right) \qquad (0 \leqq t \leqq 1) $$

であるから、

$$ y = 1 - 2x, \quad z = x \qquad \left( 0 \leqq x \leqq \frac{1}{2} \right) $$

となる。

よって断面は次のようになる。

(i)

$0 \leqq x \leqq \dfrac{1}{2}$ のとき断面は $yz$ 平面内の線分

$$ (y, z) = (1 - x - u, u) \qquad (0 \leqq u \leqq x) $$

である。

(ii)

$\dfrac{1}{2} \leqq x \leqq 1$ のとき断面は $yz$ 平面内の線分

$$ (y, z) = (1 - x - u, u) \qquad (0 \leqq u \leqq 1 - x) $$

である。

この線分を $x$ 軸のまわりに回転すると円環ができる。外半径は、いずれの場合も点 $(y,z) = (1-x,0)$ の距離であるから

$$ R(x) = 1 - x $$

である。

次に内半径を求める。点 $(1-x-u, u)$ の $x$ 軸からの距離の2乗を

$$ h_x(u) = (1-x-u)^2 + u^2 $$

とおくと、

$$ h_x(u) = 2u^2 - 2(1-x)u + (1-x)^2 $$

であり、これは $u = \dfrac{1-x}{2}$ のとき最小になる。

(i)

$0 \leqq x \leqq \dfrac{1}{3}$ のとき

$\dfrac{1-x}{2} \geqq x$ であるから、最小値は区間の右端 $u = x$ でとる。したがって内半径 $r(x)$ は

$$ r(x)^2 = (1-2x)^2 + x^2 = 1 - 4x + 5x^2 $$

である。ゆえに断面積 $S(x)$ は

$$ \begin{aligned} S(x) &= \pi \left( R(x)^2 - r(x)^2 \right) \\ &= \pi \left\{ (1-x)^2 - (1-4x+5x^2) \right\} \\ &= 2 \pi x (1 - 2x) \end{aligned} $$

となる。

(ii)

$\dfrac{1}{3} \leqq x \leqq 1$ のとき

この範囲では $u = \dfrac{1-x}{2}$ が線分上にあるので、最小値はそこでとる。したがって

$$ r(x)^2 = \left( \frac{1-x}{2} \right)^2 + \left( \frac{1-x}{2} \right)^2 = \frac{(1-x)^2}{2} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} S(x) &= \pi \left( R(x)^2 - r(x)^2 \right) \\ &= \pi \left\{ (1-x)^2 - \frac{(1-x)^2}{2} \right\} \\ &= \frac{\pi}{2} (1-x)^2 \end{aligned} $$

となる。

以上より、求める体積 $V$ は

$$ V = \int_0^{1/3} 2 \pi x (1 - 2x) \, dx + \int_{1/3}^1 \frac{\pi}{2} (1-x)^2 \, dx $$

である。計算すると、

$$ \int_0^{1/3} 2 \pi x (1 - 2x) \, dx = 2 \pi \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{2x^3}{3} \right]_0^{1/3} = \frac{5\pi}{81} $$

$$ \int_{1/3}^1 \frac{\pi}{2} (1-x)^2 \, dx = \frac{\pi}{2} \left[ - \frac{(1-x)^3}{3} \right]_{1/3}^1 = \frac{4\pi}{81} $$

したがって

$$ V = \frac{5\pi}{81} + \frac{4\pi}{81} = \frac{\pi}{9} $$

となる。