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東京大学 2011年理系第5問解説

方針・初手

与えられた条件から、$a, b$ のとりうる値の範囲と、$a, b$ を固定したときの $c$ の個数に注目する。 (1)は $w([a,b;c])$ の最大値・最小値に関する条件であるため、不等式から $a, b$ の値がそれぞれ1組に定まる。 (2)は $a+b$ の値が固定されるため、$b$ を消去し、$a$ のとりうる範囲を $s$ によって場合分けして数え上げる。 (3)は(2)の結果を足し合わせる方針と、シグマ計算を用いて直接総数を求める方針の2通りが考えられる。

解法1

(1)

$w([a,b;c]) = p-q-(a+b)$ である。条件 $-q \leqq b \leqq 0 \leqq a \leqq p$ より、 $0 \leqq a \leqq p$ $-q \leqq b \leqq 0$ 辺々を足し合わせると、$-q \leqq a+b \leqq p$ が成り立つ。

$w([a,b;c]) = -q$ のとき、 $p-q-(a+b) = -q \iff a+b = p$ $-q \leqq a+b \leqq p$ の右側の等号が成立するから、$a=p$ かつ $b=0$ でなければならない。このとき、条件 $b \leqq c \leqq a$ は $0 \leqq c \leqq p$ となる。これを満たす整数 $c$ は $p - 0 + 1 = p+1$ 個存在する。よって、$w([a, b; c]) = -q$ となる個数は $p+1$ 個。

次に、$w([a,b;c]) = p$ のとき、 $p-q-(a+b) = p \iff a+b = -q$ $-q \leqq a+b \leqq p$ の左側の等号が成立するから、$a=0$ かつ $b=-q$ でなければならない。このとき、条件 $b \leqq c \leqq a$ は $-q \leqq c \leqq 0$ となる。これを満たす整数 $c$ は $0 - (-q) + 1 = q+1$ 個存在する。よって、$w([a, b; c]) = p$ となる個数は $q+1$ 個。

(2)

$p=q$ のとき、$w([a,b;c]) = p-p-(a+b) = -(a+b)$ となる。 $w([a,b;c]) = -p+s$ より、 $-(a+b) = -p+s \iff a+b = p-s$ $-p \leqq a+b \leqq p$ であるから、$-p \leqq p-s \leqq p \iff 0 \leqq s \leqq 2p$ でなければならない。したがって、$s < 0$ または $s > 2p$ のとき、条件を満たすパターンは存在せず $0$ 個である。

以下、$0 \leqq s \leqq 2p$ とする。 $b = p-s-a$ であり、$-p \leqq b \leqq 0$ より、 $-p \leqq p-s-a \leqq 0 \iff p-s \leqq a \leqq 2p-s$ これと $0 \leqq a \leqq p$ を合わせて、$a$ の満たすべき条件は $\max(0, p-s) \leqq a \leqq \min(p, 2p-s)$ となる。これを $s$ の値で場合分けする。

(i)

$0 \leqq s \leqq p$ のとき

$p-s \geqq 0$ かつ $2p-s \geqq p$ であるから、$p-s \leqq a \leqq p$ となる。各 $a$ に対して $b$ は1つ定まり、条件 $b \leqq c \leqq a$ を満たす $c$ の個数は $a - b + 1 = a - (p-s-a) + 1 = 2a - p + s + 1$ 個となる。よって、条件を満たすパターンの個数は

$$ \sum_{a=p-s}^{p} (2a - p + s + 1) $$

ここで、$a = p-s+k$ ($k=0, 1, \dots, s$) とおくと、 $2a - p + s + 1 = 2(p-s+k) - p + s + 1 = 2k + p - s + 1$ となるため、

$$ \sum_{k=0}^{s} (2k + p - s + 1) = 2 \cdot \frac{s(s+1)}{2} + (s+1)(p-s+1) = s(s+1) + (s+1)(p-s+1) = (s+1)(p+1) $$

(ii)

$p+1 \leqq s \leqq 2p$ のとき

$p-s < 0$ かつ $2p-s < p$ であるから、$0 \leqq a \leqq 2p-s$ となる。 $c$ の個数は先ほどと同様に $2a - p + s + 1$ 個であるから、求める個数は

$$ \sum_{a=0}^{2p-s} (2a - p + s + 1) $$

$$ = 2 \cdot \frac{(2p-s)(2p-s+1)}{2} + (2p-s+1)(-p+s+1) $$

$$ = (2p-s)(2p-s+1) + (2p-s+1)(-p+s+1) $$

$$ = (2p-s+1) \{ (2p-s) + (-p+s+1) \} = (2p-s+1)(p+1) $$

以上より、求める個数は以下の通りである。 $s < 0$ または $s > 2p$ のとき $0$ 個 $0 \leqq s \leqq p$ のとき $(s+1)(p+1)$ 個 $p+1 \leqq s \leqq 2p$ のとき $(2p-s+1)(p+1)$ 個

(3)

$(p,p)$ パターンの総数は、(2)で求めたパターンの個数をすべての可能な $s$ について足し合わせたものである。

$$ \sum_{s=0}^{2p} (\text{パターンの個数}) = \sum_{s=0}^{p} (s+1)(p+1) + \sum_{s=p+1}^{2p} (2p-s+1)(p+1) $$

第1項は、

$$ (p+1) \sum_{s=0}^{p} (s+1) = (p+1) \cdot \frac{(p+1)(p+2)}{2} $$

第2項は、$k = 2p-s$ とおくと $s$ が $p+1$ から $2p$ に変わるとき $k$ は $p-1$ から $0$ に変わるので、

$$ (p+1) \sum_{k=0}^{p-1} (k+1) = (p+1) \cdot \frac{p(p+1)}{2} $$

したがって、求める総数は

$$ \frac{(p+1)^2(p+2)}{2} + \frac{p(p+1)^2}{2} = \frac{(p+1)^2}{2} \{ (p+2) + p \} = \frac{(p+1)^2(2p+2)}{2} = (p+1)^3 $$

解法2

(3)を直接計算によって求める別解を示す。

$(p,p)$ パターン $[a,b;c]$ を満たす条件は、 $-p \leqq b \leqq 0 \leqq a \leqq p$, $b \leqq c \leqq a$ である。ここで $b' = -b$ とおくと、$0 \leqq b' \leqq p$ となり、条件は $-b' \leqq c \leqq a$ となる。 $a, b'$ はそれぞれ独立に $0$ から $p$ までの $p+1$ 通りの整数値をとりうる。 $a, b'$ を固定したとき、$c$ のとりうる整数値の個数は $a - (-b') + 1 = a + b' + 1$ 個である。したがって、パターンの総数は

$$ \sum_{a=0}^{p} \sum_{b'=0}^{p} (a + b' + 1) $$

内側のシグマを計算すると、

$$ \sum_{b'=0}^{p} (a + b' + 1) = \sum_{b'=0}^{p} (a+1) + \sum_{b'=0}^{p} b' = (p+1)(a+1) + \frac{p(p+1)}{2} $$

さらに $a$ について足し合わせると、

$$ \sum_{a=0}^{p} \left\{ (p+1)(a+1) + \frac{p(p+1)}{2} \right\} = (p+1) \sum_{a=0}^{p} (a+1) + \sum_{a=0}^{p} \frac{p(p+1)}{2} $$

$$ = (p+1) \cdot \frac{(p+1)(p+2)}{2} + (p+1) \cdot \frac{p(p+1)}{2} $$

$$ = \frac{(p+1)^2}{2} (p+2+p) = (p+1)^3 $$

解説

本問は複数の変数が絡む条件付きの整数解の個数を数え上げる問題である。 (1)は、与えられた変数の定義域から式の最大値・最小値を評価することで、等号成立条件から変数を一意に定める基本的な手法が問われている。 (2)は、和が一定という条件を利用して変数を消去し、もう一つの変数の取りうる範囲を正しく場合分けすることがポイントとなる。和の計算において、インデックスをずらす（置換する）ことで計算ミスを防ぐ工夫が有効である。 (3)は(2)の結果を用いる誘導となっているが、解法2のように各変数を独立に捉え直して直接数え上げる方法に気づくことができれば、計算の見通しが良くなり検算にも役立つ。