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東京大学 2011年理系第6問解説

方針・初手

（1）は $t$ の2次関数の最大値・最小値の問題であり、軸と定義域の位置関係による定石通りの場合分けを行う。（2）は「全ての実数 $t$ に対して不等式を満たす $z$ が存在する」という条件を、「$-f(t)$ の最大値 $\leqq z \leqq 1 - f(t)$ の最小値」と言い換え、$z$ が存在するための条件「(最大値) $\leqq$ (最小値)」に帰着させる。（3）は $x$ を固定したときの $y$ と $z$ の存在範囲から断面積を求め、最後に $x$ で積分して体積を求める。

解法1

(1)

$f(t) = xt^2 + yt$ を平方完成すると、

$$ f(t) = x \left( t + \frac{y}{2x} \right)^2 - \frac{y^2}{4x} $$

となる。$x > 0$ より、これは $t$ の2次関数として下に凸の放物線であり、軸は $t = -\frac{y}{2x}$ である。 $0 \leqq t \leqq 1$ における最大値を $M$、最小値を $m$ とする。軸の位置によって以下のように場合分けを行う。

(i)

$-\frac{y}{2x} < 0$ すなわち $y > 0$ のとき区間 $0 \leqq t \leqq 1$ において $f(t)$ は単調増加する。

$$ \begin{aligned} M &= f(1) = x + y \\ m &= f(0) = 0 \end{aligned} $$

よって、最大値と最小値の差は $M - m = x + y$ となる。

(ii)

$0 \leqq -\frac{y}{2x} \leqq \frac{1}{2}$ すなわち $-x \leqq y \leqq 0$ のとき軸は区間の中央 $t = \frac{1}{2}$ より左側（または中央）にある。

$$ \begin{aligned} M &= f(1) = x + y \\ m &= f\left(-\frac{y}{2x}\right) = -\frac{y^2}{4x} \end{aligned} $$

よって、最大値と最小値の差は $M - m = x + y + \frac{y^2}{4x}$ となる。

(iii)

$\frac{1}{2} < -\frac{y}{2x} \leqq 1$ すなわち $-2x \leqq y < -x$ のとき軸は区間の中央 $t = \frac{1}{2}$ より右側にある。

$$ \begin{aligned} M &= f(0) = 0 \\ m &= f\left(-\frac{y}{2x}\right) = -\frac{y^2}{4x} \end{aligned} $$

よって、最大値と最小値の差は $M - m = \frac{y^2}{4x}$ となる。

(iv)

$1 < -\frac{y}{2x}$ すなわち $y < -2x$ のとき区間 $0 \leqq t \leqq 1$ において $f(t)$ は単調減少する。

$$ \begin{aligned} M &= f(0) = 0 \\ m &= f(1) = x + y \end{aligned} $$

よって、最大値と最小値の差は $M - m = -x - y$ となる。

以上をまとめると、求める差は以下の通りである。

$$ M - m = \begin{cases} x + y & (y > 0) \\ x + y + \frac{y^2}{4x} & (-x \leqq y \leqq 0) \\ \frac{y^2}{4x} & (-2x \leqq y < -x) \\ -x - y & (y < -2x) \end{cases} $$

(2)

条件の不等式は次のように変形できる。

$$ 0 \leqq f(t) + z \leqq 1 \iff -f(t) \leqq z \leqq 1 - f(t) $$

これが $0 \leqq t \leqq 1$ の全ての実数 $t$ で成り立つような実数 $z$ が存在するための条件は、区間内での $-f(t)$ の最大値が $1 - f(t)$ の最小値以下となることである。 $-f(t)$ の最大値は $-m$ であり、$1 - f(t)$ の最小値は $1 - M$ であるから、求める条件は

$$ -m \leqq 1 - M \iff M - m \leqq 1 $$

となる。 (1) で求めた $M - m$ について、$M - m \leqq 1$ を満たす $(x, y)$ の条件を求める。

(i)

$y > 0$ のとき

$$ x + y \leqq 1 \iff y \leqq -x + 1 $$

$y > 0$ より $0 < x < 1$ であり、条件は $0 < y \leqq -x + 1$ となる。

(ii)

$-x \leqq y \leqq 0$ のとき

$$ x + y + \frac{y^2}{4x} \leqq 1 \iff 4x^2 + 4xy + y^2 \leqq 4x \iff (2x + y)^2 \leqq 4x $$

$y \geqq -x$ であり $x > 0$ より $2x + y \geqq x > 0$ であるため、

$$ 2x + y \leqq 2\sqrt{x} \iff y \leqq -2x + 2\sqrt{x} $$

となる。

(iii)

$-2x \leqq y < -x$ のとき

$$ \frac{y^2}{4x} \leqq 1 \iff y^2 \leqq 4x $$

$y < 0$ より $y \geqq -2\sqrt{x}$ となり、条件は $-2\sqrt{x} \leqq y < -x$ となる。

(iv)

$y < -2x$ のとき

$$ -x - y \leqq 1 \iff y \geqq -x - 1 $$

条件は $-x - 1 \leqq y < -2x$ となる。

以上の境界線について交点を確認する。 $y = -x + 1$ と $x$ 軸の交点は $(1, 0)$ である。 $y = -2x + 2\sqrt{x}$ は $(1, 0)$ と $(4, -4)$ を通る。 $y = -2\sqrt{x}$ は $(1, -2)$ と $(4, -4)$ を通る。 $y = -x - 1$ と $y = -2x$ の交点は $(1, -2)$ であり、$y$ 軸との交点は $(0, -1)$ である。

したがって、領域 $S$ の概形は、以下の境界線に囲まれた部分（境界を含む。ただし $x > 0$ より $y$ 軸上の点は含まない）である。

上側の境界：$0 < x \leqq 1$ では線分 $y = -x + 1$、$1 \leqq x \leqq 4$ では曲線 $y = -2x + 2\sqrt{x}$
下側の境界：$0 < x \leqq 1$ では線分 $y = -x - 1$、$1 \leqq x \leqq 4$ では曲線 $y = -2\sqrt{x}$ これら2つの境界は点 $(4, -4)$ で接する。

(3)

領域 $V$ における点 $(x, y, z)$ の満たすべき条件は、 $0 \leqq x \leqq 1$ かつ、(2) と同様に全ての $t \in [0, 1]$ に対して $-f(t) \leqq z \leqq 1 - f(t)$ となることである。すなわち、$x, y$ は領域 $S$ に属し、かつ $z$ は $-m \leqq z \leqq 1 - M$ を満たす必要がある。

$x$ を $0 \leqq x \leqq 1$ の範囲で固定し、$V$ を $x$ 軸に垂直な平面で切断した断面の面積を $A(x)$ とする。断面において $y$ が動ける範囲は、(2) で求めた $S$ のうち $0 \leqq x \leqq 1$ の部分であり、下端は $y = -x - 1$、上端は $y = -x + 1$ である。各 $y$ に対して $z$ が動ける長さは $(1 - M) - (-m) = 1 - (M - m)$ であるから、断面積 $A(x)$ は

$$ A(x) = \int_{-x-1}^{-x+1} \{1 - (M - m)\} \,dy $$

となる。ここで、積分区間 $-x-1 \leqq y \leqq -x+1$ において、(1) で場合分けの境界とした $y = -2x, -x, 0$ は、 $0 \leqq x \leqq 1$ のとき

$$ -x - 1 \leqq -2x \leqq -x \leqq 0 \leqq -x + 1 $$

を満たし、全てこの区間内に含まれる。計算を簡略化するため、$y = -x + u$ と置換する。$dy = du$ であり、積分区間は $-1 \leqq u \leqq 1$ となる。置換後の $M - m$ を $u$ の関数として $g(u)$ とおくと、

$$ g(u) = \begin{cases} -u & (-1 \leqq u \leqq -x) \\ \frac{x}{4} - \frac{u}{2} + \frac{u^2}{4x} & (-x \leqq u \leqq 0) \\ \frac{x}{4} + \frac{u}{2} + \frac{u^2}{4x} & (0 \leqq u \leqq x) \\ u & (x \leqq u \leqq 1) \end{cases} $$

となる。これにより、$g(-u) = g(u)$ となり $g(u)$ は偶関数であることがわかる。したがって、

$$ \begin{aligned} \int_{-1}^{1} g(u) \,du &= 2 \int_{0}^{1} g(u) \,du \\ &= 2 \left\{ \int_{0}^{x} \left( \frac{x}{4} + \frac{u}{2} + \frac{u^2}{4x} \right) \,du + \int_{x}^{1} u \,du \right\} \\ &= 2 \left\{ \left[ \frac{x}{4}u + \frac{1}{4}u^2 + \frac{u^3}{12x} \right]_{0}^{x} + \left[ \frac{1}{2}u^2 \right]_{x}^{1} \right\} \\ &= 2 \left\{ \left( \frac{x^2}{4} + \frac{x^2}{4} + \frac{x^2}{12} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{x^2}{2} \right) \right\} \\ &= 2 \left( \frac{7}{12}x^2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}x^2 \right) \\ &= 2 \left( \frac{1}{12}x^2 + \frac{1}{2} \right) \\ &= \frac{1}{6}x^2 + 1 \end{aligned} $$

よって、断面積 $A(x)$ は

$$ A(x) = \int_{-1}^{1} \{1 - g(u)\} \,du = 2 - \left( \frac{1}{6}x^2 + 1 \right) = 1 - \frac{1}{6}x^2 $$

となる。求める体積 $V$ は、$A(x)$ を $0 \leqq x \leqq 1$ で積分したものであるから、

$$ \begin{aligned} V &= \int_{0}^{1} A(x) \,dx \\ &= \int_{0}^{1} \left( 1 - \frac{1}{6}x^2 \right) \,dx \\ &= \left[ x - \frac{1}{18}x^3 \right]_{0}^{1} \\ &= 1 - \frac{1}{18} \\ &= \frac{17}{18} \end{aligned} $$

解説

本問は、(1)での変数の扱いと正確な場合分けが(2)・(3)に直結する典型的な構造である。(2)における「全ての実数 $t$ に対してある不等式を満たす $z$ が存在する」という条件は、「$z$ が存在できるだけの幅が確保されているか」という最大値・最小値の差の条件に帰着できる。この発想は全称命題から存在条件をあぶり出す上で非常に重要である。 (3)では $x$ を固定して断面を考える。そのまま積分すると計算量が膨大になりやすいが、適切に置換積分を行い、被積分関数が偶関数になることを見抜くことで、計算ミスを大幅に防ぎ、見通しよく解き進めることができる。

答え

(1)

$y > 0$ のとき $x + y$ $-x \leqq y \leqq 0$ のとき $x + y + \frac{y^2}{4x}$ $-2x \leqq y < -x$ のとき $\frac{y^2}{4x}$ $y < -2x$ のとき $-x - y$

(2)

領域 $S$ は、上側を $y = -x + 1$ ($0 < x \leqq 1$) および $y = -2x + 2\sqrt{x}$ ($1 \leqq x \leqq 4$)、下側を $y = -x - 1$ ($0 < x \leqq 1$) および $y = -2\sqrt{x}$ ($1 \leqq x \leqq 4$) で囲まれた部分である（境界線は含み、$y$ 軸上の点は除く）。

(3)

$\frac{17}{18}$