トップ› 名古屋大学› 2008年› 理系第4問

名古屋大学 2008年理系第4問解説

方針・初手

不等式を満たす整数解（格子点）の個数を求める問題である。複数の文字を含む不等式では、1つの文字の値を固定し、残りの文字についての条件に帰着させて数え上げるのが定石である。本問においては、係数の違いに着目し、$x$ の値を固定して考える。さらに $y$ の係数が $2$ であることから、$x$ を偶数と奇数で場合分けすることで、端数の処理をスムーズに行うことができる。

解法1

(1)

$x, y$ は $0$ 以上の整数である。与えられた不等式 $3x + 2y \leqq 2008$ を $y$ について解くと、

$$2y \leqq 2008 - 3x$$

$$y \leqq 1004 - \frac{3}{2}x$$

$y \geqq 0$ であるためには $1004 - \frac{3}{2}x \geqq 0$、すなわち $x \leqq \frac{2008}{3} = 669.3\cdots$ であり、$x$ も $0$ 以上の整数であるから $0 \leqq x \leqq 669$ となる。 $x$ の偶奇で場合分けをして、条件を満たす $y$ の個数を数える。

(i) $x$ が偶数のとき

$x = 2k$ （$k$ は $0 \leqq k \leqq 334$ を満たす整数）と表せる。不等式に代入すると、

$$y \leqq 1004 - 3k$$

$y$ は $0$ 以上の整数なので、条件を満たす $y$ のとり得る値は $0, 1, 2, \dots, 1004 - 3k$ の $(1005 - 3k)$ 個である。

(ii) $x$ が奇数のとき

$x = 2k + 1$ （$k$ は $0 \leqq k \leqq 334$ を満たす整数）と表せる。（$x \leqq 669$ より $2k+1 \leqq 669$ すなわち $k \leqq 334$ である）不等式に代入すると、

$$y \leqq 1004 - \frac{3(2k+1)}{2} = 1002.5 - 3k$$

$y$ は整数なので、

$$y \leqq 1002 - 3k$$

条件を満たす $y$ のとり得る値は $0, 1, 2, \dots, 1002 - 3k$ の $(1003 - 3k)$ 個である。

以上より、求める組 $(x, y)$ の総数 $S$ は、(i) と (ii) の個数を合わせて $k=0$ から $334$ まで足し合わせたものになる。

$$S = \sum_{k=0}^{334} (1005 - 3k) + \sum_{k=0}^{334} (1003 - 3k)$$

$$S = \sum_{k=0}^{334} (2008 - 6k)$$

$$S = \sum_{k=0}^{334} 2008 - 6 \sum_{k=0}^{334} k$$

$$S = 2008 \times 335 - 6 \times \frac{334 \times 335}{2}$$

$$S = 335 \times (2008 - 1002)$$

$$S = 335 \times 1006 = 337010$$

よって、求める個数は $337010$ 個である。

(2)

与えられた不等式 $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} \leqq 10$ の両辺を $6$ 倍すると、

$$3x + 2y + z \leqq 60$$

となる。$x, y, z$ は $0$ 以上の整数である。この不等式を $z$ について解くと、

$$z \leqq 60 - 3x - 2y$$

$z \geqq 0$ を満たすためには、$60 - 3x - 2y \geqq 0$ すなわち $3x + 2y \leqq 60$ が必要である。このとき、条件を満たす $z$ は $0, 1, 2, \dots, 60 - 3x - 2y$ の $(61 - 3x - 2y)$ 個存在する。したがって、求める組 $(x, y, z)$ の総数は、$3x + 2y \leqq 60$ を満たす $0$ 以上の整数 $(x, y)$ の組すべてについて、$(61 - 3x - 2y)$ を足し合わせた値となる。

(1) と同様に、$x$ の値で場合分けして考える。 $3x \leqq 60$ より $0 \leqq x \leqq 20$ である。

(i) $x$ が偶数のとき

$x = 2k$ （$k$ は $0 \leqq k \leqq 10$ を満たす整数）とする。 $3(2k) + 2y \leqq 60$ より $2y \leqq 60 - 6k$、すなわち $0 \leqq y \leqq 30 - 3k$ である。このとき、$z$ の個数の総和 $S_1$ は、

$$S_1 = \sum_{k=0}^{10} \sum_{y=0}^{30-3k} (61 - 6k - 2y)$$

内側の $\sum$ は、初項が $y=0$ のとき $61 - 6k$、末項が $y=30-3k$ のとき $(61 - 6k) - 2(30 - 3k) = 1$、項数が $30 - 3k + 1 = 31 - 3k$ の等差数列の和であるから、

$$\sum_{y=0}^{30-3k} (61 - 6k - 2y) = \frac{1}{2} (31 - 3k) \{ (61 - 6k) + 1 \} = (31 - 3k)^2$$

よって、

$$S_1 = \sum_{k=0}^{10} (31 - 3k)^2$$

$$S_1 = \sum_{k=0}^{10} (9k^2 - 186k + 961)$$

$$S_1 = 9 \times \frac{10 \times 11 \times 21}{6} - 186 \times \frac{10 \times 11}{2} + 961 \times 11$$

$$S_1 = 3465 - 10230 + 10571 = 3806$$

(ii) $x$ が奇数のとき

$x = 2k + 1$ （$k$ は $0 \leqq k \leqq 9$ を満たす整数）とする。 $3(2k+1) + 2y \leqq 60$ より $2y \leqq 57 - 6k$、すなわち $y \leqq 28.5 - 3k$ である。 $y$ は整数より $0 \leqq y \leqq 28 - 3k$ である。このとき、$z$ の個数の総和 $S_2$ は、

$$S_2 = \sum_{k=0}^{9} \sum_{y=0}^{28-3k} \{ 61 - 3(2k+1) - 2y \}$$

$$S_2 = \sum_{k=0}^{9} \sum_{y=0}^{28-3k} (58 - 6k - 2y)$$

内側の $\sum$ は、初項が $y=0$ のとき $58 - 6k$、末項が $y=28-3k$ のとき $(58 - 6k) - 2(28 - 3k) = 2$、項数が $28 - 3k + 1 = 29 - 3k$ の等差数列の和であるから、

$$\sum_{y=0}^{28-3k} (58 - 6k - 2y) = \frac{1}{2} (29 - 3k) \{ (58 - 6k) + 2 \} = 3(29 - 3k)(10 - k)$$

よって、

$$S_2 = \sum_{k=0}^{9} 3(3k^2 - 59k + 290)$$

$$S_2 = 3 \left( 3 \times \frac{9 \times 10 \times 19}{6} - 59 \times \frac{9 \times 10}{2} + 290 \times 10 \right)$$

$$S_2 = 3(855 - 2655 + 2900) = 3 \times 1100 = 3300$$

(i), (ii) より、求める総数 $S$ は

$$S = S_1 + S_2 = 3806 + 3300 = 7106$$

よって、求める個数は $7106$ 個である。

解説

不等式を満たす格子点の個数を求める典型的な問題である。文字が複数ある場合は、1つの文字を固定して考えるのが基本方針となる。

(1) では $3x+2y \leqq 2008$ の係数に着目し、$y$ の係数が $2$ であることから、$x$ を偶数と奇数で場合分けすることで、不等式を評価した際の小数の切り捨てを正確に行うことができる。

(2) は (1) の応用である。3変数の不等式であるが、まず $z$ を $x, y$ の式で評価し、$z$ の個数を $(x, y)$ の組ごとに求める形に変形する。その後は (1) と同様に $x$ で場合分けを行い、二重の $\Sigma$ 計算を実行する。内側の $\Sigma$ 計算が等差数列の和になることを見抜ければ、煩雑な計算も比較的見通しよく進めることができる。