数学1 不等式 問題 7 解説

方針・初手

絶対値を含む不等式の問題である。絶対値の中身の式の正負で場合分けをして絶対値記号を外すのが基本方針となるが、絶対値の性質 $|A| > B \iff A < -B \text{ または } A > B$ を利用すると、場合分けの手間を省いてより簡潔に解くことができる。

解法1

不等式 $|2x-9| > x-4$ について、絶対値の性質 $|A| > B \iff A < -B \text{ または } A > B$ を用いる。

与えられた不等式は次の条件と同値である。

$$2x-9 < -(x-4) \quad \text{または} \quad 2x-9 > x-4$$

それぞれの不等式を解く。 前半の不等式について、

$$2x-9 < -x+4$$

$$3x < 13$$

$$x < \frac{13}{3}$$

後半の不等式について、

$$x > 5$$

これらは同時に成り立たない独立した範囲である。したがって、求める実数 $x$ の範囲は

$$x < \frac{13}{3}, \quad x > 5$$

解法2

絶対値の中身の正負によって場合分けを行って解く。

$2x-9 \geqq 0$ すなわち $x \geqq \frac{9}{2}$ のときと、$2x-9 < 0$ すなわち $x < \frac{9}{2}$ のときに分ける。

(i) $x \geqq \frac{9}{2}$ のとき

$|2x-9| = 2x-9$ であるから、与えられた不等式は

$$2x-9 > x-4$$

$$x > 5$$

これは場合分けの条件 $x \geqq \frac{9}{2}$ を満たしている。（$\frac{9}{2} = 4.5$ より）

(ii) $x < \frac{9}{2}$ のとき

$|2x-9| = -(2x-9)$ であるから、与えられた不等式は

$$-(2x-9) > x-4$$

$$-2x+9 > x-4$$

$$-3x > -13$$

$$x < \frac{13}{3}$$

場合分けの条件 $x < \frac{9}{2}$ と、求めた $x < \frac{13}{3}$ の共通範囲をとる。 $\frac{9}{2} = 4.5$、$\frac{13}{3} = 4.33\dots$ であるから、共通範囲は

$$x < \frac{13}{3}$$

(i), (ii) より、求める実数 $x$ の範囲はこれらの和集合となるため、

$$x < \frac{13}{3}, \quad x > 5$$

解説

絶対値記号を含む方程式・不等式の解法としては、基本通りに中身の符号で場合分けをする方法（解法2）と、同値変形によって一気に絶対値記号を外す方法（解法1）の2通りがある。

正の定数 $c$ に対して $|A| > c \iff A < -c \text{ または } A > c$ が成り立つことはよく知られているが、この右辺が定数でなく文字式 $B$ であったとしても、同値変形 $|A| > B \iff A < -B \text{ または } A > B$ はそのまま成立する。右辺の $B$ が負の値をとる場合、左辺の $|A|$ は $0$ 以上であるため不等式は常に成り立つことになるが、この同値変形はそのようなケースも正しく包含している。

本問のように右辺に文字が含まれている場合であっても、解法1のように機械的に式変形する方が記述量も少なく、場合分けに伴う条件確認のミスを防ぐことができるため実戦的である。

答え

$$x < \frac{13}{3}, \quad x > 5$$