数学1 不等式 問題 6 解説

方針・初手

絶対値記号を含む不等式である。絶対値の中にある式の正負によって場合分けを行い、絶対値記号をはずして2次不等式を解くのが基本方針となる。最後に、求めた解と場合分けの条件との共通範囲をとり、すべての場合の和集合を求める。

解法1

絶対値の中の式 $2x-1$ の正負により、以下の2つの場合に分けて考える。

(i) $2x - 1 \geqq 0$ すなわち $x \geqq \frac{1}{2}$ のとき

$|2x - 1| = 2x - 1$ であるから、与えられた不等式は次のように変形できる。

$$ x^2 - x - 5 > 2x - 1 $$

整理すると

$$ x^2 - 3x - 4 > 0 $$

左辺を因数分解して

$$ (x - 4)(x + 1) > 0 $$

これを解くと

$$ x < -1, \quad 4 < x $$

場合分けの条件 $x \geqq \frac{1}{2}$ との共通範囲をとると

$$ x > 4 $$

(ii) $2x - 1 < 0$ すなわち $x < \frac{1}{2}$ のとき

$|2x - 1| = -(2x - 1) = -2x + 1$ であるから、与えられた不等式は次のように変形できる。

$$ x^2 - x - 5 > -2x + 1 $$

整理すると

$$ x^2 + x - 6 > 0 $$

左辺を因数分解して

$$ (x + 3)(x - 2) > 0 $$

これを解くと

$$ x < -3, \quad 2 < x $$

場合分けの条件 $x < \frac{1}{2}$ との共通範囲をとると

$$ x < -3 $$

(i), (ii) より、求める実数 $x$ の値の範囲は、それぞれの範囲を合わせて

$$ x < -3, \quad 4 < x $$

解説

絶対値を含む不等式の基本問題である。絶対値記号の中の式の正負で場合分けを行うという定石通りに進めればよい。その際、解いた結果と「場合分けの条件」との共通範囲をとり忘れないように注意が必要である。

また、この不等式を解くことは、放物線 $y = x^2 - x - 5$ が折れ線 $y = |2x - 1|$ よりも上側にあるような $x$ の範囲を求めることと同値である。図形的な意味をイメージしておくと、交点の $x$ 座標（$x = -3, 4$）を境に大小関係が入れ替わる様子が直感的に理解でき、検算にも役立つ。

答え

$$ x < -3, \quad 4 < x $$