数学1 不等式 問題 12 解説

方針・初手

絶対値記号を含む2次不等式である。 基本通りに絶対値の中身の正負によって場合分けをして外す方法と、$x^2 = |x|^2$ であることに着目して $|x|$ についての2次不等式として処理する方法がある。どちらの解法でも容易に解くことができる。

解法1

絶対値記号の中身の正負で場合分けを行う。

(i) $x \geqq 0$ のとき 与えられた不等式は次のように書ける。

$$ 3x^2 - 8x - 3 \leqq 0 $$

左辺を因数分解すると、

$$ (3x + 1)(x - 3) \leqq 0 $$

これを解いて、

$$ -\frac{1}{3} \leqq x \leqq 3 $$

$x \geqq 0$ であるから、共通範囲をとって、

$$ 0 \leqq x \leqq 3 $$

(ii) $x < 0$ のとき 与えられた不等式は次のように書ける。

$$ 3x^2 + 8x - 3 \leqq 0 $$

左辺を因数分解すると、

$$ (3x - 1)(x + 3) \leqq 0 $$

これを解いて、

$$ -3 \leqq x \leqq \frac{1}{3} $$

$x < 0$ であるから、共通範囲をとって、

$$ -3 \leqq x < 0 $$

(i), (ii) より、求める $x$ の値の範囲はこれらの和集合となるので、

$$ -3 \leqq x \leqq 3 $$

解法2

$x^2 = |x|^2$ であることを利用する。 与えられた不等式は次のように書き換えられる。

$$ 3|x|^2 - 8|x| - 3 \leqq 0 $$

左辺を $|x|$ について因数分解すると、

$$ (3|x| + 1)(|x| - 3) \leqq 0 $$

ここで、すべての実数 $x$ に対して $|x| \geqq 0$ であるため、$3|x| + 1 > 0$ が成り立つ。 したがって、両辺を正の数 $3|x| + 1$ で割ることができ、不等式は次のように簡略化される。

$$ |x| - 3 \leqq 0 $$

すなわち、

$$ |x| \leqq 3 $$

これを解いて、求める $x$ の値の範囲は、

$$ -3 \leqq x \leqq 3 $$

解説

絶対値を含む方程式・不等式の典型的な処理方法を問う問題である。 解法1のように定義に従って場合分けをして絶対値を外すのが最も確実で汎用性の高い方法であるが、場合分けの条件（$x \geqq 0$ や $x < 0$）との共通範囲をとり忘れないよう注意が必要である。 解法2のように式の形の特徴（$x^2 = |x|^2$）を見抜ければ、場合分けを回避して素早く簡潔に解くことができる。試験本番では解法2のような工夫ができると時間の節約につながる。

答え

$-3 \leqq x \leqq 3$