数学1 方程式 問題 17 解説

方針・初手

与えられた方程式は、実数の2乗の和が $0$ に等しいという形をしている。実数 $A, B$ について $A^2+B^2=0$ が成り立つための必要十分条件は $A=0$ かつ $B=0$ であることを利用し、連立方程式に帰着させる。

解法1

与えられた方程式は次のように変形できる。

$$ \{x(y+1)(x-1)\}^2 + \{y(x+1)(y-1)\}^2 = 0 $$

$x, y$ は実数であるから、$x(y+1)(x-1)$ および $y(x+1)(y-1)$ も実数である。実数の平方の和が $0$ になるのは、それぞれが $0$ のときに限られるため、以下の連立方程式が成り立つ。

$$ \begin{cases} x(y+1)(x-1) = 0 & \cdots \text{①} \\ y(x+1)(y-1) = 0 & \cdots \text{②} \end{cases} $$

①より、以下の3つの場合が考えられる。

(i) $x = 0$ のとき

これを②に代入すると、

$$ y(0+1)(y-1) = 0 $$

$$ y(y-1) = 0 $$

よって、$y = 0, 1$ となる。 このとき、実数 $x, y$ の組 $(x, y)$ は $(0, 0), (0, 1)$ の2組である。

(ii) $x = 1$ のとき

これを②に代入すると、

$$ y(1+1)(y-1) = 0 $$

$$ 2y(y-1) = 0 $$

よって、$y = 0, 1$ となる。 このとき、実数 $x, y$ の組 $(x, y)$ は $(1, 0), (1, 1)$ の2組である。

(iii) $y = -1$ のとき

これを②に代入すると、

$$ -1(x+1)(-1-1) = 0 $$

$$ 2(x+1) = 0 $$

よって、$x = -1$ となる。 このとき、実数 $x, y$ の組 $(x, y)$ は $(-1, -1)$ の1組である。

(i)、(ii)、(iii) で求めた $(x, y)$ の組に重複はない。 したがって、方程式を満たす実数 $x, y$ の組は、$(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (-1, -1)$ の合計5組である。

解説

「実数の2乗和が0になる条件」を利用する基本的な問題である。式がやや複雑に見えるが、$A^2+B^2=0 \iff A=0 \text{ かつ } B=0$ を適用すれば、シンプルな連立方程式に落とし込める。一方の式から考えられる候補をすべて挙げ、それぞれの場合についてもう一方の式を満たすかを丁寧に確認することで、過不足なく解を求めることができる。

答え

5