数学1 方程式 問題 18 解説

方針・初手

ガウス記号 $[x]$ は、$x$ 以下の最大の整数を表す。したがって

$$ [x]=k \quad (k\in\mathbb{Z}) $$

とおけば、

$$ k\leqq x<k+1 $$

が成り立つ。

アは $[x]$ を整数 $k$ とおいて直接数える。イは $[3x]$ が整数であることを利用して、右辺 $-x^2+3x$ の候補を有限個に絞る。

解法1

ア

$[x]=k$ とおくと、$k$ は整数であり、

$$ 4x-3[x]=0 $$

より

$$ 4x-3k=0 \quad\therefore\quad x=\frac{3}{4}k $$

である。

一方、$[x]=k$ であるためには

$$ k\leqq x<k+1 $$

が必要十分である。ここに $x=\dfrac34 k$ を代入すると

$$ k\leqq \frac34 k<k+1 $$

となる。

左側の不等式から

$$ k\leqq \frac34 k \iff \frac14 k\leqq 0 \iff k\leqq 0 $$

である。

右側の不等式から

$$ \frac34 k<k+1 \iff -\frac14 k<1 \iff k>-4 $$

である。

したがって

$$ -4<k\leqq 0 $$

を満たす整数 $k$ は

$$ k=-3,-2,-1,0 $$

の $4$ 個である。よって、アは $4$ である。

イ

方程式

$$ x^2-3x+[3x]=0 $$

は

$$ [3x]=-x^2+3x $$

と変形できる。

ガウス記号の性質より

$$ 3x-1<[3x]\leqq 3x $$

であるから、

$$ 3x-1<-x^2+3x\leqq 3x $$

が必要である。これを解くと

$$ -1<x<1 $$

を得る。

この範囲で

$$ y=-x^2+3x $$

を考えると、$y$ は $-1<x<1$ で単調増加し、

$$ -4<y<2 $$

である。さらに $y=[3x]$ は整数でなければならないので、

$$ y=-3,-2,-1,0,1 $$

のいずれかである。

それぞれについて $-x^2+3x=m$ を解き、$-1<x<1$ に入る解を調べる。

$$ \begin{array}{c|c} m & -1<x<1 \text{ に入る解}\\ \hline -3 & \dfrac{3-\sqrt{21}}{2}\\ -2 & \dfrac{3-\sqrt{17}}{2}\\ -1 & \dfrac{3-\sqrt{13}}{2}\\ 0 & 0\\ 1 & \dfrac{3-\sqrt{5}}{2} \end{array} $$

これらはそれぞれ $[3x]=m$ を満たす。したがって解は $5$ 個である。

解説

ガウス記号を含む方程式では、$[x]=k$ とおいて整数条件と区間条件に分けるのが基本である。

イでは、$[3x]$ が整数であることが決定的である。まず $3x-1<[3x]\leqq 3x$ から $x$ の範囲を絞り、その範囲で $-x^2+3x$ が取り得る整数値だけを調べればよい。

答え

ア：$4$

イ：$5$