数学1 二次不等式問題 7 解説

方針・初手

与えられた2つの2次不等式をそれぞれ解き、数直線上で解の範囲を比較して、共通部分を持たないような $a$ の条件を考えます。2つ目の不等式は文字定数 $a$ を含みますが、左辺が因数分解できることに着目して $x$ の範囲を $a$ を用いて表します。

解法1

1つ目の不等式を変形する。

$$ x^2 - 10x - 24 > 0 $$

$$ (x - 12)(x + 2) > 0 $$

これを解いて、

$$ x < -2, \quad 12 < x \quad \cdots \text{①} $$

次に、2つ目の不等式を変形する。

$$ x^2 - (a^2 - a - 1)x - a^2 + a < 0 $$

$$ x^2 - (a^2 - a - 1)x - (a^2 - a) < 0 $$

左辺を因数分解すると、

$$ \{ x - (a^2 - a) \} (x + 1) < 0 \quad \cdots \text{②} $$

ここで、解の境界となる $a^2 - a$ と $-1$ の大小関係を調べるために差をとると、

$$ (a^2 - a) - (-1) = a^2 - a + 1 = \left( a - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} > 0 $$

となり、すべての実数 $a$ について $a^2 - a > -1$ が成り立つ。したがって、不等式②の解は、

$$ -1 < x < a^2 - a \quad \cdots \text{③} $$

①と③を同時に満たす $x$ が存在しない、すなわち①の範囲と③の範囲が共通部分を持たない条件を考える。 ③の範囲の下限 $-1$ について、$-2 \leqq -1 \leqq 12$ であるから、$-1$ は①の範囲に含まれず、常に $x < -2$ の部分とは共通部分を持たない。したがって、③の範囲が $12 < x$ の部分と共通部分を持たなければよい。そのための条件は、③の範囲の上限 $a^2 - a$ が $12$ 以下となることである。

$$ a^2 - a \leqq 12 $$

これを解く。

$$ a^2 - a - 12 \leqq 0 $$

$$ (a - 4)(a + 3) \leqq 0 $$

よって、求める $a$ の値の範囲は、

$$ -3 \leqq a \leqq 4 $$

解説

文字係数を含む2次不等式の解法と、連立不等式の解が存在しない条件を問う標準的な問題です。最大のポイントは、2つ目の不等式が $(x - \alpha)(x - \beta) < 0$ の形に因数分解できることに気づき、さらに $\alpha$ と $\beta$ の大小関係が常に確定することを見抜く点にあります。大小関係の確認を省略せずに記述することが論理的な解答を作るうえで重要です。また、共通部分が存在しない条件を求める際は、頭の中だけで処理せず、数直線を描いて視覚的に確認することで、不等号に等号を含めるかどうかの判断ミスを防ぐことができます。