数学1 二次不等式問題 8 解説

方針・初手

与えられた2つの関数から不等式 $f(n) \leqq g(n)$ を立式し、変数 $n$ についての2次不等式に帰着させる。求めるのはこの不等式を満たす「整数」$n$ の個数であるため、不等式の解の範囲に含まれる整数を数え上げる。2次不等式の解法としては、解の公式を用いて無理数の近似値から範囲を絞る方法と、平方完成を用いて整数の2乗の性質を利用する方法が考えられる。

解法1

条件 $f(n) \leqq g(n)$ より、次の不等式が成り立つ。

$$ n^2 - 7n + 11 \leqq 3n - 4 $$

移項して整理すると、

$$ n^2 - 10n + 15 \leqq 0 $$

方程式 $x^2 - 10x + 15 = 0$ を解の公式を用いて解くと、

$$ x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2} = 5 \pm \sqrt{10} $$

したがって、2次不等式の解は次のようになる。

$$ 5 - \sqrt{10} \leqq n \leqq 5 + \sqrt{10} $$

ここで、$\sqrt{9} < \sqrt{10} < \sqrt{16}$ より $3 < \sqrt{10} < 4$ であるから、各辺に $-1$ を掛けて、

$$ -4 < -\sqrt{10} < -3 $$

これらにそれぞれ $5$ を加えると、次のような値の範囲がわかる。

$$ 1 < 5 - \sqrt{10} < 2 $$

$$ 8 < 5 + \sqrt{10} < 9 $$

よって、$n$ の満たすべき条件は、

$$ 1 < 5 - \sqrt{10} \leqq n \leqq 5 + \sqrt{10} < 9 $$

これを満たす整数 $n$ は $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ である。

その個数を数えると、$8 - 2 + 1 = 7$ 個となる。

解法2

解法1と同様に、条件から次の2次不等式を得る。

$$ n^2 - 10n + 15 \leqq 0 $$

左辺を平方完成すると、

$$ (n - 5)^2 - 25 + 15 \leqq 0 $$

$$ (n - 5)^2 \leqq 10 $$

$n$ は整数であるから、$n - 5$ も整数である。

整数を2乗して $10$ 以下になるのは、$0, 1, 4, 9$ のいずれかであるため、整数 $n - 5$ がとりうる値は次のようになる。

$$ n - 5 = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3 $$

すなわち、$n - 5$ は $7$ 個の値をとることができる。

$n - 5$ の値が1つ決まれば対応する $n$ の値もただ1つに決まるため、条件を満たす整数 $n$ の個数も $7$ 個である。

解説

2次不等式を満たす整数の個数を求める基本的な問題である。解法1のように解の公式を用いて解の範囲を求め、無理数の近似値（平方根の評価）から整数の範囲を絞り込むのが王道のアプローチである。

一方で、本問のように不等式が「$\text{整数の式} \leqq \text{定数}$」の形に整理できる場合は、解法2のように平方完成を利用すると計算量が減り、無理数の評価というミスが起きやすい手順を回避できる。整数問題においては、平方完成を利用して「整数の2乗」に着目する手法は強力なので、ぜひ習得しておきたい。