数学1 二次不等式問題 14 解説

方針・初手

与えられた2次不等式の解の形 $3 < x < 4$ から、対応する2次関数 $y = ax^2 + x + b$ のグラフの概形を把握する。グラフが上に凸か下に凸かを判断し、放物線と $x$ 軸との交点の座標から $a, b$ の値を決定していく。

解法1

$x$ についての2次不等式 $ax^2 + x + b > 0$ の解が $3 < x < 4$ となるための条件を考える。

不等式の解が $x$ のある有限な区間となることから、2次関数 $y = ax^2 + x + b$ のグラフは上に凸の放物線であり、$x$ 軸との交点の $x$ 座標が $x = 3, 4$ でなければならない。

グラフが上に凸であることより、

$$ a < 0 $$

である。

また、2次方程式 $ax^2 + x + b = 0$ の2つの解が $x = 3, 4$ であるから、解と係数の関係より、

$$ \begin{cases} 3 + 4 = -\frac{1}{a} \\ 3 \cdot 4 = \frac{b}{a} \end{cases} $$

が成り立つ。第1式より、

$$ 7 = -\frac{1}{a} $$

$$ a = -\frac{1}{7} $$

となり、これは $a < 0$ を満たす。

この $a$ の値を第2式に代入して、

$$ 12 = \frac{b}{-\frac{1}{7}} $$

$$ 12 = -7b $$

$$ b = -\frac{12}{7} $$

したがって、求める定数の値は決まる。

解法2

解が $3 < x < 4$ となるような、最もシンプルな2次不等式を作成し、それを変形して与式と係数を比較する。

解が $3 < x < 4$ である2次不等式の一つは、

$$ (x - 3)(x - 4) < 0 $$

である。これを展開すると、

$$ x^2 - 7x + 12 < 0 $$

となる。

与えられた不等式 $ax^2 + x + b > 0$ において、一次の項の係数は $1$ であり、不等号の向きは $>$ である。そこで、先ほど導いた不等式 $x^2 - 7x + 12 < 0$ の両辺に $-\frac{1}{7}$ を掛ける。負の数を掛けるため不等号の向きが反転することに注意すると、

$$ -\frac{1}{7} (x^2 - 7x + 12) > 0 $$

$$ -\frac{1}{7}x^2 + x - \frac{12}{7} > 0 $$

となる。この不等式は解が $3 < x < 4$ であり、一次の項の係数が $1$ であるため、与式 $ax^2 + x + b > 0$ と完全に一致する。

両辺の係数を比較して、

$$ a = -\frac{1}{7}, \quad b = -\frac{12}{7} $$