数学1 二次不等式問題 15 解説

方針・初手

2次不等式がすべての実数 $x$ に対して成り立つ（絶対不等式となる）条件を利用する。 $x^2$ の係数が正のとき、2次関数 $y = ax^2+bx+c$ のグラフが常に $x$ 軸より上側にあるためには、2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ が実数解を持たない、すなわち判別式 $D<0$ となればよい。または、左辺を平方完成し、その関数の最小値が正であるという条件を立式しても解決できる。

解法1

与えられた不等式において $x^2$ の係数は $1$ であり正である。したがって、不等式 $x^2 - 2kx + 4(k+3) > 0$ がすべての実数 $x$ に対して成り立つための条件は、2次方程式 $x^2 - 2kx + 4(k+3) = 0$ の判別式を $D$ とすると、実数解を持たないこと、すなわち $D < 0$ となることである。

$$ \frac{D}{4} = (-k)^2 - 1 \cdot 4(k+3) = k^2 - 4k - 12 $$

$D < 0$ より、

$$ k^2 - 4k - 12 < 0 $$

左辺を因数分解して、

$$ (k - 6)(k + 2) < 0 $$

これを解いて、求める $k$ のとりうる値の範囲は、

$$ -2 < k < 6 $$

解法2

与えられた不等式の左辺を $f(x)$ とおき、平方完成する。

$$ \begin{aligned} f(x) &= x^2 - 2kx + 4(k+3) \\ &= (x - k)^2 - k^2 + 4k + 12 \end{aligned} $$

$f(x) > 0$ がすべての実数 $x$ に対して成り立つための条件は、$f(x)$ の最小値が正となることである。 $f(x)$ は $x = k$ のとき最小値 $-k^2 + 4k + 12$ をとるので、

$$ -k^2 + 4k + 12 > 0 $$

両辺に $-1$ を掛けて、不等号の向きを反転させると、

$$ k^2 - 4k - 12 < 0 $$

左辺を因数分解して、

$$ (k - 6)(k + 2) < 0 $$

これを解いて、

$$ -2 < k < 6 $$

解説

「すべての実数 $x$ に対して成り立つ」絶対不等式の典型問題である。 2次関数 $y = ax^2+bx+c$ のグラフが常に $x$ 軸より上側にあるためには、「下に凸（$a>0$）」かつ「$x$ 軸と共有点を持たない（$D<0$）」ことが必要十分条件となる。本問では $a=1>0$ はすでに満たされているため、判別式のみに着目すればよい。解法2で示した「すべての実数で成り立つなら、最小値が $0$ より大きければよい」という発想は、3次以上の関数や三角関数を含む不等式など、より複雑な問題を扱う際にも応用が利く重要な考え方である。