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数学1 二次不等式問題 27 解説

方針・初手

与えられた2次不等式の左辺を因数分解する。文字係数の2次不等式であるため、$x^2$ の係数 $a(a-1)$ の符号による不等号の向きの変化と、解の境界となる2つの値の大小関係に注意して場合分けを行う必要がある。

与えられた不等式は、

$$ a(a-1)x^2 + (2-3a)x + 2 < 0 $$

左辺をたすき掛けにより因数分解すると、

$$ (ax - 1)\{(a-1)x - 2\} < 0 $$

となる。条件より $a \neq 0, 1$ であるから、両辺を $a(a-1)$ で割ることができる。ここで、$x^2$ の係数 $a(a-1)$ の符号によって場合分けを行う。

方程式 $(ax - 1)\{(a-1)x - 2\} = 0$ の解は、

$$ x = \frac{1}{a}, \quad \frac{2}{a-1} $$

これら2つの値の大小関係を調べるために差をとると、

$$ \frac{1}{a} - \frac{2}{a-1} = \frac{a - 1 - 2a}{a(a-1)} = \frac{-(a+1)}{a(a-1)} $$

となる。

(i) $a(a-1) > 0$ のときすなわち、$a < 0$ または $1 < a$ のとき。不等式を $a(a-1)$ で割ると不等号の向きは変わらず、

$$ \left(x - \frac{1}{a}\right) \left(x - \frac{2}{a-1}\right) < 0 $$

となる。ここで、差 $\frac{-(a+1)}{a(a-1)}$ の符号は、分母が正であるから分子 $-(a+1)$ の符号と一致する。したがって、$a$ の値によってさらに場合分けが必要になる。

(ア) $a < -1$ のとき $-(a+1) > 0$ より $\frac{1}{a} > \frac{2}{a-1}$ となるため、不等式の解は、

$$ \frac{2}{a-1} < x < \frac{1}{a} $$

(イ) $a = -1$ のとき $\frac{1}{a} = \frac{2}{a-1} = -1$ となるため、不等式は $(x + 1)^2 < 0$ となる。これを満たす実数 $x$ は存在しないため、解なし。

(ウ) $-1 < a < 0$ または $1 < a$ のとき $-(a+1) < 0$ より $\frac{1}{a} < \frac{2}{a-1}$ となるため、不等式の解は、

$$ \frac{1}{a} < x < \frac{2}{a-1} $$

(ii) $a(a-1) < 0$ のときすなわち、$0 < a < 1$ のとき。不等式の両辺を負の数 $a(a-1)$ で割ることになるため不等号の向きが変わり、

$$ \left(x - \frac{1}{a}\right) \left(x - \frac{2}{a-1}\right) > 0 $$

となる。このとき、$-(a+1) < 0$ であり、$a(a-1) < 0$ であるため、

$$ \frac{-(a+1)}{a(a-1)} > 0 $$

となり、常に $\frac{1}{a} > \frac{2}{a-1}$ が成り立つ。したがって、不等式の解は、

$$ x < \frac{2}{a-1}, \quad \frac{1}{a} < x $$

文字係数を含む2次不等式の典型問題である。ポイントは以下の2点に集約される。

$x^2$ の係数の符号によって、両辺を割った際の不等号の向きが変わる点。
2次方程式の2つの解の大小関係が、文字の値によって入れ替わる点。これら2つの要素が複雑に絡み合うため、同時に処理しようとすると混乱しやすい。まずは $x^2$ の係数の符号で大枠を分け、その後に解の大小関係を比較するという手順を踏むことで、正確に場合分けを網羅することができる。