数学1 二次方程式 問題 1 解説

方針・初手

与えられた2つの2次方程式がそれぞれ実数解をもつための条件を、判別式を用いて立式する。2つの条件を同時に満たす $a$ の範囲（共通部分）を求めればよい。

解法1

$x^2 + ax + 3a = 0$ の判別式を $D_1$、$x^2 - ax + a^2 - 1 = 0$ の判別式を $D_2$ とする。

2つの2次方程式がともに実数解をもつための条件は、

$$ D_1 \geqq 0 \quad \text{かつ} \quad D_2 \geqq 0 $$

である。

まず、$D_1 \geqq 0$ より、

$$ a^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3a \geqq 0 $$

$$ a^2 - 12a \geqq 0 $$

$$ a(a - 12) \geqq 0 $$

よって、

$$ a \leqq 0, \quad 12 \leqq a \quad \cdots \text{①} $$

次に、$D_2 \geqq 0$ より、

$$ (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 1) \geqq 0 $$

$$ a^2 - 4a^2 + 4 \geqq 0 $$

$$ -3a^2 + 4 \geqq 0 $$

$$ a^2 \leqq \frac{4}{3} $$

よって、

$$ -\frac{2\sqrt{3}}{3} \leqq a \leqq \frac{2\sqrt{3}}{3} \quad \cdots \text{②} $$

①と②の共通範囲を求める。

$\frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{12}}{3} < \frac{4}{3} < 12$ であるから、①と②を同時に満たす $a$ の値の範囲は、

$$ -\frac{2\sqrt{3}}{3} \leqq a \leqq 0 $$

となる。

解説

2つの2次方程式が「ともに」実数解をもつ条件は、それぞれの判別式が $0$ 以上となるような範囲の共通部分をとる、という標準的な問題である。「実数解をもつ」という条件は「異なる2つの実数解」または「重解」のいずれかであるため、判別式において $D > 0$ ではなく $D \geqq 0$ と等号を含める点に注意する。

答え

$$ -\frac{2\sqrt{3}}{3} \leqq a \leqq 0 $$