数学1 二次方程式 問題 2 解説

方針・初手

与えられた $x$ についての2次方程式が実数解をもたない条件を、判別式を用いて立式する。得られた条件式が「すべての実数 $a$ について」成り立つような $b$ の範囲を求める。文字が多く登場するが、「今はどの文字を変数として扱っているか」を明確に意識して2段階の処理を行う。

解法1

$x$ についての2次方程式 $x^2 + ax + a^2 + ab + 2 = 0$ の判別式を $D_x$ とする。この方程式が決して実数解をもたないための条件は、$D_x < 0$ である。

$$ D_x = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 + ab + 2) = -3a^2 - 4ab - 8 $$

したがって、条件は以下のようになる。

$$ -3a^2 - 4ab - 8 < 0 $$

整理すると、次の不等式を得る。

$$ 3a^2 + 4ba + 8 > 0 \quad \cdots (1) $$

問題の条件から、定数 $a$ がどのような実数であってもこの方程式は実数解をもたない。つまり、不等式 (1) がすべての実数 $a$ に対して成り立つような $b$ の範囲を求めればよい。

$a$ についての2次関数 $f(a) = 3a^2 + 4ba + 8$ のグラフは下に凸の放物線である。不等式 (1) がすべての実数 $a$ で成り立つための条件は、この放物線が $a$ 軸と共有点をもたないことである。

$a$ についての2次方程式 $3a^2 + 4ba + 8 = 0$ の判別式を $D_a$ とすると、$D_a < 0$ が成り立てばよい。

$$ \frac{D_a}{4} = (2b)^2 - 3 \cdot 8 = 4b^2 - 24 $$

したがって、以下の不等式を解く。

$$ 4b^2 - 24 < 0 $$

$$ b^2 - 6 < 0 $$

これを解いて、求める $b$ の範囲を得る。

$$ -\sqrt{6} < b < \sqrt{6} $$

解説

「判別式の判別式」をとる、いわゆる2段階の判別式を用いる典型問題である。

第1段階として、与えられた $x$ の方程式が実数解をもたないことから、判別式 $D_x < 0$ を立式する。ここまでは方程式の係数である $a$ や $b$ は単なる定数として扱う。

第2段階として、得られた不等式が「すべての実数 $a$ について」成り立つ条件を考える。ここでは $a$ を変数とみなし、$a$ についての常に成り立つ不等式（絶対不等式）として処理する。$a^2$ の係数が正であることに注意し、再び判別式 $D_a < 0$ を用いることで完答できる。

答え

$-\sqrt{6} < b < \sqrt{6}$