数学1 二次方程式問題 6 解説

方針・初手

2次方程式を解の公式で解き、正の解 $p$ を求める。無理数 $\sqrt{7}$ の値の範囲から $p$ の整数部分 $a$ を特定し、小数部分 $b$ を求める。最後に、$b$ をそのまま代入するのではなく、$b$ が満たす2次方程式を導き、その式を利用して与えられた4次式の次数を下げることで値を計算する。

解法1

2次方程式 $x^2 - 2\sqrt{7}x - 2 = 0$ を解の公式を用いて解くと、

$$ x = \frac{2\sqrt{7} \pm \sqrt{(-2\sqrt{7})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2} = \frac{2\sqrt{7} \pm \sqrt{28 + 8}}{2} = \frac{2\sqrt{7} \pm 6}{2} = \sqrt{7} \pm 3 $$

となる。$p$ は正の解であり、$2 < \sqrt{7} < 3$ より $\sqrt{7} - 3 < 0$ であるため、

$$ p = \sqrt{7} + 3 $$

である。

次に、$p$ の整数部分 $a$ を求める。$2^2 < 7 < 3^2$ より $2 < \sqrt{7} < 3$ であるから、各辺に3を加えて、

$$ 5 < \sqrt{7} + 3 < 6 $$

となる。したがって、$p$ の整数部分 $a$ は、

$$ a = 5 $$

である。また、$p$ の小数部分 $b$ は、元の数から整数部分を引けばよいので、

$$ b = p - a = (\sqrt{7} + 3) - 5 = \sqrt{7} - 2 $$

である。

最後に、$b^4 + 88b - 7$ の値を求める。

$b = \sqrt{7} - 2$ より、$b + 2 = \sqrt{7}$ となる。この両辺を2乗すると、

$$ (b + 2)^2 = 7 $$

$$ b^2 + 4b + 4 = 7 $$

$$ b^2 + 4b - 3 = 0 $$

が得られる。求める式 $b^4 + 88b - 7$ を $b^2 + 4b - 3$ で割ると、商が $b^2 - 4b + 19$、余りが $50$ となる。すなわち、次のように表せる。

$$ b^4 + 88b - 7 = (b^2 + 4b - 3)(b^2 - 4b + 19) + 50 $$

ここで $b^2 + 4b - 3 = 0$ であるから、

$$ b^4 + 88b - 7 = 0 \cdot (b^2 - 4b + 19) + 50 = 50 $$

となる。

解法2

$b$ が満たす2次方程式 $b^2 + 4b - 3 = 0$ を導くところまでは解法1と同様である。ここから、次数下げを行って式の値を求める。

$b^2 + 4b - 3 = 0$ より、

$$ b^2 = -4b + 3 $$

である。これを繰り返し用いて、$b^4$ の次数を下げる。まず両辺を2乗して、

$$ b^4 = (-4b + 3)^2 = 16b^2 - 24b + 9 $$

右辺の $b^2$ に再び $-4b + 3$ を代入して、

$$ b^4 = 16(-4b + 3) - 24b + 9 = -64b + 48 - 24b + 9 = -88b + 57 $$

これを与式に代入すると、

$$ b^4 + 88b - 7 = (-88b + 57) + 88b - 7 = 50 $$

となる。

解説

無理数の整数部分と小数部分を求める基本的な処理と、高次式の値を求める典型的な処理の融合問題である。式の値を求める際、$b = \sqrt{7} - 2$ を直接4乗すると計算が非常に煩雑になり、ミスを誘発しやすい。そのため、無理数を分離して両辺を2乗することで $b$ が満たす2次方程式（$=0$ の形）を作り、整式の割り算や次数の降下を用いて計算を簡略化する手法が極めて有効である。