数学1 二次方程式問題 7 解説

方針・初手

分数関数の値域、あるいは方程式の実数解の存在条件を問う典型問題である。与えられた方程式の分母を払い、$x$ についての方程式とみなす。この方程式が実数解をもつような定数 $a$ の条件を考える。分母を払った後の式が $x$ の2次方程式になる場合は判別式を利用できるが、$x^2$ の係数に $a$ が含まれるため、$a=0$ の場合と $a \neq 0$ の場合とで場合分けが必要になることに注意する。

解法1

(1) 関数 $f(x)$ の分母について、$x^2-2x+3 = (x-1)^2+2 > 0$ であるから、すべての実数 $x$ に対して $f(x)$ は定義される。

方程式 $f(x) = a$、すなわち

$$ \frac{2x-1}{x^2-2x+3} = a $$

の両辺に $x^2-2x+3$ を掛けて整理すると、

$$ 2x-1 = a(x^2-2x+3) $$

$$ ax^2 - 2(a+1)x + 3a + 1 = 0 \quad \cdots (*) $$

となる。これが実数解をもつような $a$ の範囲を求める。

(i) $a = 0$ のとき

方程式 $(*)$ は $-2x + 1 = 0$ となり、$x = \frac{1}{2}$ という実数解をもつ。したがって、$a = 0$ は条件を満たす。

(ii) $a \neq 0$ のとき

方程式 $(*)$ は $x$ についての2次方程式となる。これが実数解をもつための条件は、判別式を $D$ とすると、$D \geqq 0$ となることである。

$$ \frac{D}{4} = \{-(a+1)\}^2 - a(3a+1) \geqq 0 $$

$$ a^2 + 2a + 1 - 3a^2 - a \geqq 0 $$

$$ -2a^2 + a + 1 \geqq 0 $$

$$ 2a^2 - a - 1 \leqq 0 $$

$$ (2a+1)(a-1) \leqq 0 $$

これを解いて、

$$ -\frac{1}{2} \leqq a \leqq 1 $$

$a \neq 0$ であるから、$-\frac{1}{2} \leqq a < 0$、$0 < a \leqq 1$ となる。

(i)、(ii) より、求める $a$ の範囲は、

$$ -\frac{1}{2} \leqq a \leqq 1 $$

(2) (1) の結果から、方程式 $f(x) = y$ が実数解をもつような $y$ の範囲、すなわち関数 $y = f(x)$ のとりうる値の範囲は $-\frac{1}{2} \leqq y \leqq 1$ である。よって、$f(x)$ の最大値は $1$、最小値は $-\frac{1}{2}$ である。

最大値 $1$ をとるとき、$a = 1$ を方程式 $(*)$ に代入して、

$$ 1 \cdot x^2 - 4x + 4 = 0 $$

$$ (x-2)^2 = 0 $$

$$ x = 2 $$

最小値 $-\frac{1}{2}$ をとるとき、$a = -\frac{1}{2}$ を方程式 $(*)$ に代入して、

$$ -\frac{1}{2}x^2 - x - \frac{1}{2} = 0 $$

両辺に $-2$ を掛けて、

$$ x^2 + 2x + 1 = 0 $$

$$ (x+1)^2 = 0 $$

$$ x = -1 $$

解説

分数関数のとりうる値の範囲（値域）を求める問題において、$= k$ とおいて $x$ の方程式とみなし、判別式に帰着させる手法は非常に重要である。(2) は (1) の誘導にうまく乗ることで、微分（数学III）を用いずとも容易に最大値・最小値を与える $x$ を特定できる。「$x^2$ の係数が文字である方程式」を扱う際には、それが2次方程式であるとは限らないため、最高次の係数が $0$ になる場合とならない場合とで必ず場合分けを行う必要がある。この点が最大の注意点である。