数学1 二次方程式 問題 8 解説

方針・初手

共通な実数解を $\alpha$ とおき、2つの方程式に代入する。2式の差をとることで最高次の $\alpha^2$ を消去し、$m$ と $\alpha$ の関係式を導く。導かれた条件から場合分けを行い、それぞれの場合について「共通な実数解をただ1つもつ」という条件を満たすか検証する。

解法1

共通な実数解を $\alpha$ とおくと、以下の2式が成り立つ。

$$ \begin{aligned} \alpha^2 - 3\alpha + m - 1 &= 0 \quad \cdots \text{①} \\ \alpha^2 + (m - 2)\alpha - 2 &= 0 \quad \cdots \text{②} \end{aligned} $$

① $-$ ② より $\alpha^2$ を消去すると、

$$ (-3 - m + 2)\alpha + m - 1 - (-2) = 0 $$

$$ -(m + 1)\alpha + m + 1 = 0 $$

$$ (m + 1)(\alpha - 1) = 0 $$

これより、$m = -1$ または $\alpha = 1$ である。

(i) $m = -1$ のとき

2つの方程式はともに $x^2 - 3x - 2 = 0$ となり、一致する。

この方程式の判別式を $D$ とすると、$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 17 > 0$ であるから、異なる2つの実数解をもつ。

すなわち、2つの方程式は共通な実数解を2つもつことになり、「ただ1つもつ」という条件に適さない。

よって、$m = -1$ は不適である。

(ii) $\alpha = 1$ のとき

$\alpha = 1$ を ① に代入すると、

$$ 1^2 - 3 \cdot 1 + m - 1 = 0 $$

$$ m = 3 $$

となる。

このとき、2つの方程式はそれぞれ以下のようになる。

$$ x^2 - 3x + 2 = 0 \iff (x - 1)(x - 2) = 0 $$

$$ x^2 + x - 2 = 0 \iff (x - 1)(x + 2) = 0 $$

それぞれの方程式の実数解は $x = 1, 2$ と $x = 1, -2$ となり、共通な実数解は $x = 1$ のただ1つのみである。

これは条件を満たしている。

(i), (ii) より、求める $m$ の値は $m = 3$ であり、そのときの共通解は $x = 1$ である。

解説

共通解問題の定石である「共通解を文字でおき、連立方程式として解く」という手法を用いる。特に2次方程式の共通解問題では、2式の差をとって2次の項を消去することで、1次式に帰着させることが有効である。

求まった必要条件（本問では $m = -1$ または $\alpha = 1$）に対し、十分性の確認（逆の確認）を必ず行わなければならない。「ただ1つもつ」という条件の検証によって $m = -1$ が除外される点が、この問題の重要なポイントである。

答え

$m = 3$、共通解は $1$