数学1 二次方程式問題 12 解説

方針・初手

与えられた2次方程式の係数に文字 $m$ が含まれており、条件に応じて $m$ の値や方程式の解を求める問題である。 2次方程式の解の公式、判別式 $D$ と解の個数の関係、方程式の解の定義といった基本事項を順に適用して処理する。 (1)から(3)までは判別式や解の公式に直接当てはめ、(4)は「解が2である」という条件から方程式に $x=2$ を代入して文字 $m$ についての方程式を立てる。

解法1

(1) 与えられた2次方程式に $m=5$ を代入すると、

$$ x^2 + 5x + 3 = 0 $$

解の公式より、

$$ x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2} $$

(2) 2次方程式が重解をもつための条件は、判別式を $D$ とすると $D=0$ となることである。

$$ D = m^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m+8) = m^2 + 4m - 32 $$

したがって、

$$ m^2 + 4m - 32 = 0 $$

$$ (m+8)(m-4) = 0 $$

$m > 0$ であるから、

$$ m = 4 $$

このとき、もとの方程式は $x^2 + 4x + 4 = 0$ となり、$(x+2)^2 = 0$ より重解は $x = -2$ である。

(3) 2次方程式が2つの相異なる実数解をもつための条件は、$D > 0$ となることである。 **(2)**の計算より、

$$ m^2 + 4m - 32 > 0 $$

$$ (m+8)(m-4) > 0 $$

これを解いて、

$$ m < -8, \quad 4 < m $$

(4) $x=2$ が解の1つであるから、方程式に $x=2$ を代入して等式が成り立つ。

$$ 2^2 + m \cdot 2 - m + 8 = 0 $$

$$ m + 12 = 0 $$

$$ m = -12 $$

このとき、もとの方程式は $x^2 - 12x + 20 = 0$ となる。左辺を因数分解して、

$$ (x-2)(x-10) = 0 $$

よって、$x = 2, 10$ となり、もう1つの解は $x = 10$ である。

解法2

(4)の別解 解と係数の関係を用いた解法を示す。もう1つの解を $\alpha$ とおく。2次方程式 $x^2 + mx - m + 8 = 0$ における解と係数の関係より、

$$ \begin{cases} 2 + \alpha = -m \\ 2\alpha = -m + 8 \end{cases} $$

第1式より $m = - \alpha - 2$ である。これを第2式に代入すると、

$$ 2\alpha = -(-\alpha - 2) + 8 $$

$$ 2\alpha = \alpha + 10 $$

$$ \alpha = 10 $$

したがって、もう1つの解は $10$ である。また、このとき $m = -10 - 2 = -12$ である。

解説

2次方程式の解の公式、判別式、解と係数の関係を問う標準的な問題である。各小問は独立しており、それぞれ基本的な定義や公式に忠実に従えば解くことができる。 **(4)**では、解が与えられているため方程式に直接代入して未定係数を決定するのが自然な発想であるが、解法2のように解と係数の関係を利用し、もう1つの解と未定係数 $m$ についての連立方程式として処理することも可能である。どちらの手法を用いても計算量は多くないため、より確実に計算できる方法を選ぶとよい。