数学1 二次方程式 問題 13 解説

方針・初手

2つの方程式はいずれも $x$ についての2次方程式である。それぞれが実数解をもつための条件は、判別式 $D \geqq 0$ となることである。各方程式の判別式の符号について $a$ の不等式を解き、それらの共通範囲などを考えればよい。

解法1

方程式 ① : $x^2 + ax + a + 3 = 0$ の判別式を $D_1$ とする。 方程式 ① が実数解をもつための条件は $D_1 \geqq 0$ である。

$$ D_1 = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a+3) = a^2 - 4a - 12 $$

より、

$$ a^2 - 4a - 12 \geqq 0 $$

$$ (a+2)(a-6) \geqq 0 $$

よって、

$$ a \leqq -2, \quad 6 \leqq a \cdots \text{(A)} $$

これが［ア］の答えである。

次に、方程式 ② : $x^2 - 2ax + 8a = 0$ の判別式を $D_2$ とする。 方程式 ② が実数解をもつための条件は $D_2 \geqq 0$ である。

$$ \frac{D_2}{4} = (-a)^2 - 1 \cdot 8a = a^2 - 8a $$

より、

$$ a^2 - 8a \geqq 0 $$

$$ a(a-8) \geqq 0 $$

よって、

$$ a \leqq 0, \quad 8 \leqq a \cdots \text{(B)} $$

①、②ともに実数解をもつための条件は、(A) と (B) を同時に満たすことである。 数直線を用いて共通範囲を求めると、

$$ a \leqq -2, \quad 8 \leqq a $$

これが［イ］の答えである。

最後に、①、②のどちらか一方だけが実数解をもつ条件を考える。 これは、「(A) を満たし (B) を満たさない」または「(A) を満たさず (B) を満たす」ことである。

(i) ①だけが実数解をもつ場合

$D_1 \geqq 0$ かつ $D_2 < 0$ である。 $D_2 < 0$ を解くと $0 < a < 8$ であるから、これと (A) の共通範囲を求めて、

$$ 6 \leqq a < 8 $$

(ii) ②だけが実数解をもつ場合

$D_1 < 0$ かつ $D_2 \geqq 0$ である。 $D_1 < 0$ を解くと $-2 < a < 6$ であるから、これと (B) の共通範囲を求めて、

$$ -2 < a \leqq 0 $$

(i)、(ii) は互いに排反であるから、求める $a$ の値の範囲はこれらの和集合となり、

$$ -2 < a \leqq 0, \quad 6 \leqq a < 8 $$

これが［ウ］の答えである。

解説

2次方程式が実数解をもつ条件は、判別式が $0$ 以上であることの基本確認問題である。 複数の不等式が絡む場合、数直線を利用してそれぞれの範囲を図示することで、共通範囲や和集合を視覚的に間違いなく捉えることができる。 「どちらか一方だけ」という条件は、一方の条件を満たし、かつもう一方の条件の否定を満たす範囲をそれぞれ求め、それらを合わせればよい。

答え

［ア］ $a \leqq -2, \quad 6 \leqq a$

［イ］ $a \leqq -2, \quad 8 \leqq a$

［ウ］ $-2 < a \leqq 0, \quad 6 \leqq a < 8$