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数学1 二次方程式の解の存在範囲問題 6 解説

方針・初手

(1) は2次方程式が異なる2つの実数解を持つ条件なので、判別式 $D > 0$ を用いる。

(2) は2次方程式の解の配置（解の存在範囲）に関する典型問題である。与えられた条件は、方程式 $f(x) = 0$ が $1 \leqq x \leqq 3$ の範囲に異なる2つの実数解を持つことと言い換えられる。グラフの頂点（軸）の位置、判別式、区間の端点における $y$ 座標の符号の3点に着目して連立不等式を立てる。

解法1

(1)

2次方程式 $x^2 - ax - a^2 + 5a = 0$ の判別式を $D$ とする。異なる2つの実数解を持つ条件は $D > 0$ である。

$$ D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a^2 + 5a) = 5a^2 - 20a $$

不等式 $5a^2 - 20a > 0$ を解く。

$$ 5a(a - 4) > 0 $$

よって、求める $a$ の範囲は

$$ a < 0, \ 4 < a $$

(2)

2次関数 $y = f(x)$ のグラフが2点 $(\alpha, 0), (\beta, 0)$ を通り、$1 \leqq \alpha < \beta \leqq 3$ となるための条件は、方程式 $f(x) = 0$ が $1 \leqq x \leqq 3$ の範囲に異なる2つの実数解を持つことである。

関数 $f(x)$ を平方完成する。

$$ f(x) = \left( x - \frac{a}{2} \right)^2 - \frac{5}{4}a^2 + 5a $$

$y = f(x)$ のグラフは下に凸の放物線であり、その軸は直線 $x = \frac{a}{2}$ である。条件を満たすためには、次の (i), (ii), (iii) をすべて満たす必要がある。

(i) 判別式 $D > 0$

(1)の計算結果より、

$$ a < 0, \ 4 < a \quad \cdots \text{①} $$

(ii) 軸の位置が区間 $(1, 3)$ にある

2つの解が異なるため、軸が端点に一致することはなく、軸は $1$ より大きく $3$ より小さい範囲にある。

$$ 1 < \frac{a}{2} < 3 $$

よって、

$$ 2 < a < 6 \quad \cdots \text{②} $$

(iii) 端点における関数値が $0$ 以上である

$f(1) \geqq 0$ かつ $f(3) \geqq 0$ である。

$$ f(1) = 1 - a - a^2 + 5a = -a^2 + 4a + 1 \geqq 0 $$

すなわち $a^2 - 4a - 1 \leqq 0$ となり、これを解くと

$$ 2 - \sqrt{5} \leqq a \leqq 2 + \sqrt{5} \quad \cdots \text{③} $$

また、

$$ f(3) = 9 - 3a - a^2 + 5a = -a^2 + 2a + 9 \geqq 0 $$

すなわち $a^2 - 2a - 9 \leqq 0$ となり、これを解くと

$$ 1 - \sqrt{10} \leqq a \leqq 1 + \sqrt{10} \quad \cdots \text{④} $$

以上より、①、②、③、④の共通範囲を求める。まず、①と②の共通範囲は

$$ 4 < a < 6 \quad \cdots \text{⑤} $$

次に、⑤と③の共通範囲を考える。 $2 < \sqrt{5} < 3$ であるから、$4 < 2 + \sqrt{5} < 5$ となる。したがって、共通範囲は

$$ 4 < a \leqq 2 + \sqrt{5} \quad \cdots \text{⑥} $$

最後に、⑥と④の共通範囲を考える。 $3 < \sqrt{10} < 4$ であるから、$4 < 1 + \sqrt{10} < 5$ となる。ここで、$2 + \sqrt{5}$ と $1 + \sqrt{10}$ の大小関係を調べる。

$$ (2 + \sqrt{5}) - (1 + \sqrt{10}) = 1 + \sqrt{5} - \sqrt{10} $$

$1 + \sqrt{5} > 0$ かつ $\sqrt{10} > 0$ であり、それぞれの平方を比較する。

$$ (1 + \sqrt{5})^2 = 6 + 2\sqrt{5} = 6 + \sqrt{20} $$

$$ (\sqrt{10})^2 = 10 = 6 + \sqrt{16} $$

$\sqrt{20} > \sqrt{16}$ であるから、$(1 + \sqrt{5})^2 > (\sqrt{10})^2$ となり、$1 + \sqrt{5} > \sqrt{10}$ が成り立つ。よって、$2 + \sqrt{5} > 1 + \sqrt{10}$ であることが分かる。

したがって、⑥と④の共通範囲を求めると、

$$ 4 < a \leqq 1 + \sqrt{10} $$

これが求める $a$ の範囲である。

解説

2次方程式の解の存在範囲（解の配置）を問う頻出問題である。「判別式」「軸の位置」「区間の端点での値」の3条件を過不足なく立式できるかが鍵となる。 (2)では複数の不等式の共通範囲を正確に求める処理能力が問われる。特に、区間の端点から得られる無理数を含む境界値について、大小比較を正しく行う必要がある。単に近似値を用いて判断することも可能だが、答案としては二乗を用いた評価を明記すると論理の飛躍がなく確実である。