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数学1 集合問題 1 解説

方針・初手

絶対値を含む不等式を解き、集合 $A, B$ を数直線上の区間として具体的に表す。さらに、条件 $A \cap B = A$ が包含関係 $A \subset B$ と同値であることを利用して、$a$ の満たすべき不等式を立てる。

解法1

集合 $A$ の要素が満たす条件 $|x| < 3$ を解くと、

$$ -3 < x < 3 $$

となる。

次に、集合 $B$ の要素が満たす条件 $|x - a| < 4$ を解くと、$-4 < x - a < 4$ より、

$$ a - 4 < x < a + 4 $$

となる。

与えられた条件 $A \cap B = A$ は、$A \subset B$ と同値である。これが成り立つためには、集合 $A$ が表す開区間 $(-3, 3)$ が、集合 $B$ が表す開区間 $(a - 4, a + 4)$ に完全に含まれればよい。

したがって、区間の両端について次の関係が同時に成り立つ。

$$ \begin{cases} a - 4 \le -3 \\ 3 \le a + 4 \end{cases} $$

この連立不等式を解くと、

$$ \begin{cases} a \le 1 \\ -1 \le a \end{cases} $$

となる。両方を満たす $a$ の範囲を求めて、

$$ -1 \le a \le 1 $$

を得る。

解説

集合の共通部分に関する条件 $A \cap B = A$ を、包含関係 $A \subset B$ に言い換えられるかが最大のポイントである。

数直線上での区間の包含関係を考える際、端点の等号の有無に注意が必要である。今回、集合 $A, B$ はともに境界を含まない開区間である。仮に左端の境界が一致して $a - 4 = -3$ であったとしても、集合 $B$ の条件は $-3 < x < 5$ となり、集合 $A$ の条件 $-3 < x < 3$ を満たす要素はすべて集合 $B$ に含まれる。したがって、端点の条件式には等号を含めるのが正しい。