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北海道大学 1974年文系第4問解説

方針・初手

全体集合を $U$ とすると、学生は全員いずれかのクラブに所属しているため、$n(A \cup B \cup C) = n(U) = 60$ であることがポイントです。集合の要素の個数を求める問題では、ベン図を用いて視覚的に整理するか、要素の個数に関する公式を適切に利用するアプローチが有効です。ここでは、公式を活用する解法と、ベン図の各領域を文字で置く解法の2通りを示します。

解法1

全体集合を $U$ とする。「$60$ 人の学生は $3$ つのクラブのいずれかに入っている」という条件から、 $$ n(U) = n(A \cup B \cup C) = 60 $$ である。

(1)

ド・モルガンの法則より、$\overline{A} \cup \overline{B} \cup \overline{C} = \overline{A \cap B \cap C}$ が成り立つ。したがって、求める要素の個数は、 $$ \begin{aligned} n(\overline{A} \cup \overline{B} \cup \overline{C}) &= n(\overline{A \cap B \cap C}) \\ &= n(U) - n(A \cap B \cap C) \\ &= 60 - 10 \\ &= 50 \end{aligned} $$

(2)

$3$ つの集合の和集合の要素の個数の公式より、 $$ n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - \{n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(C \cap A)\} + n(A \cap B \cap C) $$ が成り立つ。これに与えられた数値を代入すると、 $$ 60 = 42 + 36 + 27 - \{n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(C \cap A)\} + 10 $$ $$ n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(C \cap A) = 115 - 60 = 55 $$ ここで、求める集合を $D = (A \cap B) \cup (B \cap C) \cup (C \cap A)$ とおく。和集合の公式を再度用いると、 $$ \begin{aligned} n(D) &= n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(C \cap A) \\ &\quad - n((A \cap B) \cap (B \cap C)) - n((B \cap C) \cap (C \cap A)) - n((C \cap A) \cap (A \cap B)) \\ &\quad + n((A \cap B) \cap (B \cap C) \cap (C \cap A)) \end{aligned} $$ となる。ここで、共通部分の性質から、 $$ (A \cap B) \cap (B \cap C) = A \cap B \cap C $$ などとなるため、引き算される $3$ つの項はすべて $n(A \cap B \cap C) = 10$ となる。また、最後の項についても、 $$ (A \cap B) \cap (B \cap C) \cap (C \cap A) = A \cap B \cap C $$ である。したがって、 $$ \begin{aligned} n(D) &= 55 - 10 - 10 - 10 + 10 \\ &= 35 \end{aligned} $$

(3)

$C$ のみに属する学生の集合は、$C \cap \overline{A} \cap \overline{B}$ と表せる。学生は全員いずれかのクラブに所属しているため、$U = A \cup B \cup C$ である。これとド・モルガンの法則 $\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$ を用いると、 $$ \begin{aligned} C \cap \overline{A} \cap \overline{B} &= C \cap \overline{A \cup B} \\ &= (A \cup B \cup C) \cap \overline{A \cup B} \\ &= U \cap \overline{A \cup B} \\ &= \overline{A \cup B} \end{aligned} $$ となる。すなわち、$C$ のみに属する学生とは、全体から「$A$ または $B$ に属する学生」を除外したものである。ここで、$n(A \cup B)$ を計算すると、 $$ \begin{aligned} n(A \cup B) &= n(A) + n(B) - n(A \cap B) \\ &= 42 + 36 - 26 \\ &= 52 \end{aligned} $$ である。よって、求める人数は、 $$ \begin{aligned} n(\overline{A \cup B}) &= n(U) - n(A \cup B) \\ &= 60 - 52 \\ &= 8 \end{aligned} $$

解法2

ベン図の各領域に含まれる人数を、次のように文字で置く。・$A$ のみに属する人数：$a$ ・$B$ のみに属する人数：$b$ ・$C$ のみに属する人数：$c$ ・$A$ と $B$ のみに属する人数：$x$ ・$B$ と $C$ のみに属する人数：$y$ ・$C$ と $A$ のみに属する人数：$z$ ・$3$ つすべてに属する人数：$w$

与えられた条件から、以下の連立方程式が成り立つ。 $$ \begin{cases} w = 10 \\ a + x + z + w = 42 \\ b + x + y + w = 36 \\ c + y + z + w = 27 \\ a + b + c + x + y + z + w = 60 \end{cases} $$ $w=10$ を代入して整理すると、次のようになる。 $$ \begin{cases} a + x + z = 32 \quad \cdots (i) \\ b + x + y = 26 \quad \cdots (ii) \\ c + y + z = 17 \quad \cdots (iii) \\ a + b + c + x + y + z = 50 \quad \cdots (iv) \end{cases} $$

(1)

求めるものは「$3$ つすべてに属する学生」以外の人数なので、全体から $w$ を引けばよい。 $$ 60 - 10 = 50 $$

(2)

求める集合は「$2$ つ以上のクラブに属する学生」の集合であるから、その人数は $x + y + z + w$ である。式 (i), (ii), (iii) の辺々を足し合わせると、 $$ (a + b + c) + 2(x + y + z) = 75 $$ となる。これと式 (iv) を用いて $a + b + c$ を消去する。 $$ \begin{aligned} \{50 - (x + y + z)\} + 2(x + y + z) &= 75 \\ 50 + (x + y + z) &= 75 \\ x + y + z &= 25 \end{aligned} $$ よって、求める人数は、 $$ x + y + z + w = 25 + 10 = 35 $$

(3)

求めるものは $C$ のみに属する学生の数、すなわち $c$ である。条件 $n(A \cap B) = 26$ より、 $$ x + w = 26 $$ $w = 10$ であるから、$x = 16$ である。次に、式 (iv) から式 (i) を引くことで、式を整理する。 $$ \begin{aligned} (a + b + c + x + y + z) - (a + x + z) &= 50 - 32 \\ b + y + c &= 18 \quad \cdots (v) \end{aligned} $$ 一方、式 (ii) に $x=16$ を代入すると、 $$ \begin{aligned} b + 16 + y &= 26 \\ b + y &= 10 \end{aligned} $$ となる。これを式 (v) に代入して $c$ を求める。 $$ \begin{aligned} 10 + c &= 18 \\ c &= 8 \end{aligned} $$

解説

集合の要素の個数を求める典型的な問題です。解法1のように「和集合の要素の個数の公式」や「ド・モルガンの法則」といった集合の基本法則を駆使すると、計算量も少なくエレガントに解くことができます。特に (3) において、$A \cup B \cup C$ 全体が全体集合と一致することに気づき、$C$ のみの部分を $\overline{A \cup B}$ と見抜けるかが時短の鍵となります。

一方で、解法2のようにベン図の各領域を独立した変数として置き、連立方程式として処理する手法も非常に強力です。どの部分が問われているのかが可視化されやすく、公式を忘れてしまった場合や、複雑な条件が絡む応用問題でも対応しやすいというメリットがあります。