東北大学 1992年 文系 第4問 解説

方針・初手

与えられているのは

$$ P(n)\Rightarrow Q(n+1),\qquad Q(n)\Rightarrow P(n+1) $$

である。

したがって，これを2回続けて用いれば

$$ P(n)\Rightarrow P(n+2),\qquad Q(n)\Rightarrow Q(n+2) $$

も成り立つ。 つまり，$P$ も $Q$ も，いったん正しいものが見つかると，添字を2ずつ増やしながら正しさが伝わっていく。

解法1

(1) $P(1)$ が正しいとする。

すると

$$ P(1)\Rightarrow Q(2)\Rightarrow P(3)\Rightarrow Q(4)\Rightarrow P(5)\Rightarrow \cdots $$

と順に分かる。よって

$$ Q(2),Q(4),Q(6),Q(8),Q(10) $$

はすべて正しく，また

$$ P(1),P(3),P(5),P(7),P(9) $$

も正しい。

したがって，$Q(10)$ は正しいといえる。

一方，$P(10)$ については，上の連鎖からは導けない。導けるのは奇数番号の $P$ だけであり，偶数番号の $P$ はこの仮定だけでは分からない。

実際，次のように定めれば条件をすべて満たす。

$$ P(n)\text{ が正しい } \Longleftrightarrow n\text{ は奇数}, $$

$$ Q(n)\text{ が正しい } \Longleftrightarrow n\text{ は偶数}. $$

このとき，$P(n)$ が正しければ $n$ は奇数なので $n+1$ は偶数であり，$Q(n+1)$ は正しい。 また，$Q(n)$ が正しければ $n$ は偶数なので $n+1$ は奇数であり，$P(n+1)$ は正しい。

しかも $P(1)$ は正しいが，$P(10)$ は正しくない。 よって，$P(10)$ は正しいとはいえない。

(2) さらに $Q(9)$ も正しいとする。

すると

$$ Q(9)\Rightarrow P(10)\Rightarrow Q(11)\Rightarrow P(12)\Rightarrow \cdots $$

となるので，

$$ P(10),P(12),P(14),\ldots $$

が正しい。

一方，$P(1)$ からはすでに

$$ P(1),P(3),P(5),P(7),P(9),P(11),P(13),\ldots $$

が正しい。

以上を合わせると，$P(n)$ が正しいといえるのは

$$ n=1,3,5,7 \quad \text{または} \quad n\geqq 9 $$

である。

すなわち，$P(n)$ は $2,4,6,8$ を除くすべての自然数 $n$ に対して正しいといえる。

なお，$2,4,6,8$ については正しいと断定できない。実際，

$$ P(n)\text{ が正しい } \Longleftrightarrow \bigl(n\text{ は奇数}\bigr)\ \text{または}\ n\geqq 10, $$

$$ Q(n)\text{ が正しい } \Longleftrightarrow \bigl(n\text{ は偶数}\bigr)\ \text{または}\ n\geqq 9 $$

と定めると，条件と $P(1),Q(9)$ はすべて満たされるが，$P(2),P(4),P(6),P(8)$ は正しくない。 したがって，これらは一般にはいえない。

解説

この問題の要点は，$P$ と $Q$ が1回ずつ交互につながっているため，結局は「添字の偶奇ごとに正しさが伝播する」と見ることである。

$P(1)$ だけからは奇数番号の $P$ と偶数番号の $Q$ しか確定しない。 そこへ $Q(9)$ を追加すると，今度は $P(10)$ が出て，そこから先の偶数番号の $P$ もすべて確定する。したがって，$P$ は $9$ 以降すべて正しいことになる。

「いえない」ことを示すには，条件を満たす具体例を作るのが確実である。

答え

$$ Q(10)\text{ は正しい。} $$

$$ P(10)\text{ は正しいとはいえない。} $$

また，$P(1)$ と $Q(9)$ の両方が正しいとき，$P(n)$ が正しいといえるのは

$$ n=1,3,5,7 \quad \text{または} \quad n\geqq 9 $$

である。 すなわち，$2,4,6,8$ を除くすべての自然数 $n$ に対して $P(n)$ は正しい。