数学2 微分の基本 問題 1 解説

方針・初手

微分係数の定義式 $f'(a) = \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ を作り出すことを目標に式変形を行う。

極限の式から微分係数の定義を導くには、主に2つのアプローチがある。1つ目は、分子に適切に項を足し引きして因数分解し、定義の形を直接作り出す方法である。2つ目は、極限の式全体をある関数における微分係数の定義式とみなして、導関数の計算に帰着させる方法である。

解法1

(1)

分子を因数分解して、微分係数の定義の形を作り出す。

$$\begin{aligned} \lim_{x\to a} \frac{\{f(x)\}^2 - \{f(a)\}^2}{x-a} &= \lim_{x\to a} \frac{\{f(x)-f(a)\}\{f(x)+f(a)\}}{x-a} \\ &= \lim_{x\to a} \left\{ \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \cdot \{f(x)+f(a)\} \right\} \end{aligned}$$

関数 $f(x)$ は $x=a$ において微分可能であるから、$x=a$ において連続であり、$\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$ が成り立つ。

また、微分係数の定義より $\lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a)$ であるから、

$$(\text{与式}) = f'(a) \cdot \{f(a) + f(a)\} = 2f(a)f'(a)$$

(2)

分子に $- a^2\{f(a)\}^2 + a^2\{f(a)\}^2$ を補い、微分係数の定義を利用できるように変形する。

$$\begin{aligned} \lim_{x\to a} \frac{\{af(x)\}^2 - \{xf(a)\}^2}{x-a} &= \lim_{x\to a} \frac{a^2\{f(x)\}^2 - x^2\{f(a)\}^2}{x-a} \\ &= \lim_{x\to a} \frac{a^2\{f(x)\}^2 - a^2\{f(a)\}^2 + a^2\{f(a)\}^2 - x^2\{f(a)\}^2}{x-a} \\ &= \lim_{x\to a} \left[ a^2 \frac{\{f(x)\}^2 - \{f(a)\}^2}{x-a} - \{f(a)\}^2 \frac{x^2 - a^2}{x-a} \right] \\ &= \lim_{x\to a} \left[ a^2 \frac{\{f(x)\}^2 - \{f(a)\}^2}{x-a} - \{f(a)\}^2 \frac{(x-a)(x+a)}{x-a} \right] \\ &= \lim_{x\to a} \left[ a^2 \frac{\{f(x)\}^2 - \{f(a)\}^2}{x-a} - \{f(a)\}^2 (x+a) \right] \end{aligned}$$

ここで、(1) の結果を用いると、極限値は次のように計算できる。

$$(\text{与式}) = a^2 \cdot 2f(a)f'(a) - \{f(a)\}^2 \cdot (a+a) = 2a^2 f(a)f'(a) - 2a\{f(a)\}^2$$

解法2

与えられた極限式全体を、ある関数の $x=a$ における微分係数の定義式 $\lim_{x\to a} \frac{g(x)-g(a)}{x-a} = g'(a)$ とみなす。

(1)

$g(x) = \{f(x)\}^2$ とおくと、与式は $\lim_{x\to a} \frac{g(x)-g(a)}{x-a}$ と表せる。

これは関数 $g(x)$ の $x=a$ における微分係数 $g'(a)$ の定義そのものである。

合成関数の微分法により、

$$g'(x) = 2f(x)f'(x)$$

であるから、求める極限値は次のように求まる。

$$g'(a) = 2f(a)f'(a)$$

(2)

$h(x) = \{af(x)\}^2 - \{xf(a)\}^2 = a^2\{f(x)\}^2 - x^2\{f(a)\}^2$ とおく。

このとき、$h(a) = a^2\{f(a)\}^2 - a^2\{f(a)\}^2 = 0$ であるから、与式は次のように表せる。

$$\lim_{x\to a} \frac{h(x)}{x-a} = \lim_{x\to a} \frac{h(x)-h(a)}{x-a}$$

これは関数 $h(x)$ の $x=a$ における微分係数 $h'(a)$ の定義である。ここで、

$$h'(x) = a^2 \cdot 2f(x)f'(x) - 2x \cdot \{f(a)\}^2$$

であるから、求める極限値は次のように求まる。

$$h'(a) = 2a^2 f(a)f'(a) - 2a\{f(a)\}^2$$

解説

微分係数の定義 $f'(a) = \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ を利用する極限計算の典型問題である。

解法1のように分子に特定の項を足し引きして因数分解する手法は、関数の積の微分公式の証明などでも用いられる重要な式変形である。特に (2) では、変化する部分と定数部分をうまく分離することがポイントとなる。

一方で、解法2のように極限の対象となっている関数を丸ごと新しい関数として置き換え、微分係数の定義式とみなす手法は、複雑な式変形を回避でき、機械的な微分計算に帰着させることができるため非常に強力である。

答え

(1) $2f(a)f'(a)$

(2) $2a^2 f(a)f'(a) - 2a\{f(a)\}^2$