数学2 グラフ・増減・極値問題 1 解説

方針・初手

与えられた3次関数 $f(x)$ について、導関数 $f'(x) = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とおき、極大値と極小値の差を $\alpha, \beta$ で表す。 3次関数の極値の差は、定積分を用いて $\frac{|A|}{6}(\beta-\alpha)^3$ （$A$は3次の係数）の形で計算できることを利用すると計算量が減る。また、式中の $a - \frac{1}{a}$ をひとまとめにして文字でおくと見通しが良くなる。

解法1

$b = a - \frac{1}{a}$ とおく。関数 $f(x)$ は次のように展開できる。

$$\begin{aligned} f(x) &= (3x^2 - 4)(x - b) \\ &= 3x^3 - 3bx^2 - 4x + 4b \end{aligned}$$

これを $x$ について微分すると、以下のようになる。

$$f'(x) = 9x^2 - 6bx - 4$$

$f'(x) = 0$ の判別式を $D$ とすると、

$$\frac{D}{4} = (-3b)^2 - 9 \cdot (-4) = 9b^2 + 36 > 0$$

となり、$b$ がいかなる実数であっても $f'(x) = 0$ は異なる2つの実数解を持つ。よって、$f(x)$ は常に極大値と極小値を持つ。

この2つの実数解を $\alpha, \beta \ (\alpha < \beta)$ とすると、解と係数の関係から以下の等式が成り立つ。

$$\begin{aligned} \alpha + \beta &= \frac{6b}{9} = \frac{2}{3}b \\ \alpha\beta &= -\frac{4}{9} \end{aligned}$$

これらを用いて、$(\beta - \alpha)^2$ を計算する。

$$\begin{aligned} (\beta - \alpha)^2 &= (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta \\ &= \left(\frac{2}{3}b\right)^2 - 4\left(-\frac{4}{9}\right) \\ &= \frac{4}{9}b^2 + \frac{16}{9} \\ &= \frac{4}{9}(b^2 + 4) \end{aligned}$$

$\beta > \alpha$ より $\beta - \alpha > 0$ であるから、

$$\beta - \alpha = \frac{2}{3}\sqrt{b^2 + 4}$$

関数 $f(x)$ の $x^3$ の係数が正であることから、$f(x)$ は $x = \alpha$ で極大値、$x = \beta$ で極小値をとる。極大値と極小値の差を $\Delta y$ とすると、

$$\begin{aligned} \Delta y &= f(\alpha) - f(\beta) \\ &= \int_{\beta}^{\alpha} f'(x) dx \\ &= - \int_{\alpha}^{\beta} 9(x - \alpha)(x - \beta) dx \\ &= -9 \left( -\frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3 \right) \\ &= \frac{3}{2}(\beta - \alpha)^3 \end{aligned}$$

これに $\beta - \alpha$ の値を代入する。

$$\begin{aligned} \Delta y &= \frac{3}{2} \left( \frac{2}{3}\sqrt{b^2 + 4} \right)^3 \\ &= \frac{3}{2} \cdot \frac{8}{27} (b^2 + 4)^{\frac{3}{2}} \\ &= \frac{4}{9}(b^2 + 4)^{\frac{3}{2}} \end{aligned}$$

$\Delta y$ が最小となるのは、$b^2 + 4$ が最小となるとき、すなわち $b=0$ のときである。 $b = a - \frac{1}{a} = 0$ を解く。

$$\begin{aligned} a - \frac{1}{a} &= 0 \\ a^2 - 1 &= 0 \\ (a - 1)(a + 1) &= 0 \end{aligned}$$

$a$ は $0$ でない実数であるから、$a = \pm 1$ となる。これは $a \neq 0$ を満たす。

解説

3次関数における極大値と極小値の差は、$\frac{|A|}{6}(\beta - \alpha)^3$（ただし $A$ は導関数の $x^2$ の係数ではなく元の関数の $x^3$ の係数に依存）を利用して計算すると、代入の計算ミスを大きく減らすことができる。また、式中に $a - \frac{1}{a}$ というまとまりが見えるため、これを一時的に別の文字 $b$ に置き換えることで、導関数や判別式、解と係数の関係の計算が見やすくなる。