数学2 グラフ・増減・極値問題 16 解説

方針・初手

与えられた関数 $f(x)$ は $a \neq 0$ より $x$ の3次関数である。3次関数が極値を持たないための条件は、導関数 $f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持たないことである。したがって、$f'(x) = 0$ の判別式 $D$ を調べ、$D \le 0$ となる実数 $a$ の条件を求める。

解法1

関数 $f(x)$ を $x$ で微分する。

$$f'(x) = 3ax^2 - 3(a^2+1)x + 3a$$

$$f'(x) = 3 \{ ax^2 - (a^2+1)x + a \}$$

$a \neq 0$ であるから、$f(x)$ は3次関数である。3次関数 $f(x)$ が極値を持たないための必要十分条件は、2次方程式 $f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持たないこと、すなわち実数解を1つだけ持つ（重解）か、実数解を持たないことである。

$f'(x) = 0$ とすると、$3 \neq 0$ より以下の2次方程式を得る。

$$ax^2 - (a^2+1)x + a = 0$$

この2次方程式の判別式を $D$ とすると、極値を持たない条件は $D \le 0$ である。

$$D = \{ -(a^2+1) \}^2 - 4 \cdot a \cdot a$$

$$D = (a^4 + 2a^2 + 1) - 4a^2$$

$$D = a^4 - 2a^2 + 1$$

$$D = (a^2 - 1)^2$$

条件 $D \le 0$ より、次が成り立つ。

$$(a^2 - 1)^2 \le 0$$

$a$ は実数であるから、$(a^2 - 1)^2 \ge 0$ である。したがって、これを満たすのは以下の等号が成立する場合のみである。

$$(a^2 - 1)^2 = 0$$

$$a^2 - 1 = 0$$

$$(a - 1)(a + 1) = 0$$

$$a = 1, -1$$

これらは問題の条件 $a \neq 0$ を満たす。

解説

3次関数 $f(x)$ が極値をもつかもたないかの判定は、導関数 $f'(x)$ の符号変化を考えるのが定石である。$f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解 $\alpha, \beta$ を持つときのみ、$x = \alpha, \beta$ の前後で導関数の符号が変化し、極値を持つ。それ以外の場合（重解を持つ、または実数解を持たない場合）は、導関数の符号が変化しないため極値を持たない。判別式の計算過程で完全平方式が現れるため、式変形を正確に行うことが重要である。